Интегральный признак Коши

Теорема 52. Если члены знакоположительного ряда
могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на промежутке функции , так что то:

1) если сходится интеграл
то сходится и ряд

2) если интеграл
расходится, то расходится и ряд

Доказательство. Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком функции от до . Построим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями которых служат отрезки

Учитывая геометрический смысл определенного интеграла как площадь криволинейной трапеции, получим что

или

отсюда

Рассмотрим следующие случаи:

Случай 1. Несобственный интеграл
сходится, т.е.
Так как

то последовательность частичных сумм возрастает и ограничена сверху числом имеет предел. Значит, ряд
сходится.

Случай 2. Несобственный интеграл
расходится. Тогда

и интеграл
неограниченно возрастает при . А так как

Следовательно, ряд
расходится. Теорема доказана.

Замечание 1. Вместо интеграла
можно исследовать интеграл
так как отбрасывание k первых членов ряда не влияет на его сходимость.

Дата добавления: 2014-01-04