Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Дисперсії характеризують міру точності кожної з випадкових величин, тобто розсіювання випадкової точки в напрямку осей




3. Кореляційною матрицею Kx

Вона є узагальненим поняттям дисперсії Dx для випадкового вектора Х. Визначається за формулою

Kx = М [(X – Mx) (X – Mx) T ]. (33)

Відомо, що математичне сподівання випадкової матриці є матриця, складена із математичних сподівань її елементів. У формулі (33) приймемо п = 3, отримаємо

Kx = = ,

 

де дисперсії Хі, а Kij = кореляційні моменти випадкових величин Х і і Хj.

При п- випадкових величинах системи (Х 1, Х 2 ,..., Хп) кореляційна матриця має вигляд

. (34)

 

Аналіз формули (34) показує, що діагональні елементи кореляційної матриці є дисперсіями випадкових величин Хі, а недіагональні елементи Kij є кореляційними моментами між випадковими величинами Хі і Хj. Крім того, кореляційна матриця Kx симетрична відносно головної діагоналі, тобто

.

Якщо випадкові величини системи (Х1, Х2,..., Хп) незалежні між собою, то матриця Kx буде діагональною

= . (35)

Якщо всі дисперсії матриці (35) рівні між собою, = = то

Kx = s2 E, (36)

де Е – одинична матриця.

Через кореляційні моменти Kij можна обчислити коефіцієнти кореляції, що визначають міру зв’язку між парами Хі і Х j випадкових величин за формулою

. (37)

На заміну кореляційної матриці можна скласти нормовану кореляційну матрицю.

Нормованою кореляційною матрицею називають матрицю, елементами якої є коефіцієнти кореляції rij, тобто

. (38)

Якщо випадкові величини Х 1, Х 2 ,..., Хп мають нормальний розподіл і незалежні між собою, то система випадкових величин (Х 1, Х 2 ,..., Хп)буде п -вимірним нормальним розподілом зі щільністю ймовірності

j(х 1 2 ,..., хп)= . (39)

Щільність нормального розподілу для системи двох залежних величин Х і Y буде

j(х,у) =. (40)

Як видно із формули (40), для двох залежних випадкових величин закон розподілу визначається п’ятьма параметрами: Мx, Мy, s х, s у і rxy.

Формула щільності нормального розподілу для системи (Х 1, Х 2 ,..., Хп)залежних випадкових величин Х 1, Х 2 ,..., Хп має досить складний вигляд.

 

5. Функції випадкових величин. Числові характеристики. Кореляційна матриця системи функцій випадкових величин

В практиці геодезичних вимірювань виникають задачі оцінки точності результатів, що є функціями однієї чи декількох виміряних величин. Отримані функції теж будуть випадковими величинами. Як правило, відомо закон розподілу системи випадкових аргументів і відома функціональна залежність. Тобто, є система випадкових величин (Х 1, Х 2 ,..., Хп) і законїх розподілу. Розглянемо функцію Y від випадкових величин Х 1, Х 2 ,..., Хп

Y = f (Х 1, Х 2 ,..., Хп). (41)

Практично вирішують задачу визначення закону розподілу випадкової величини Y, виходячи з функції (39) і закону сумісного розподілу її аргументів Х 1, Х 2 ,..., Хп.

Покажемо вирішення цієї задачі для двох випадкових величин. Маємо функцію

Y = f (X 1, X 2).

Очевидно, що щільність розподілу системи випадкових величин (Х 1, Х 2) буде – j(x 1, x 2).

Штучно введемо нову величину Y 1 = X 1 і розглянемо систему двох рівнянь

. (42)

Очевидно, цю систему можна однозначно визначити відносно х 1та х 2, тоді

. (43)

Виходячи з того, що система (3.43) диференціюється в теорії ймовірностей, доводиться, що щільність розподілу випадкової величини

у = f (x 1, x 2) в нескінченних межах буде

j(у) = j[ x 1j y,x 1)]. (44)

За аналогією находять щільність розподілу для функції трьох і більше випадкових величин. Наприклад, якщо Y = f (x 1, x 2, x 3), вводять нові перемінні

Y 1 = X 1,

Y 2 = X 2.

Якщо при цьому між системами (Х 1, Х 2, Х 3)і (Y, Y 1, Y 2)виявляється однозначне співвідношення, то щільність розподілу випадкової величини Y буде

j(у) = j[ x 1, х 2, j(y,x 1, х 2)], (45)

де j(y, x 1, x 2) – зворотня функція.

На основі формули (44) визначають щільність розподілу для випадкових величин: у = (x 1 + x 2); у = (x 1 - x 2); у = x 1 × x 2 та Наприклад. Закон розподілу величини відхилення випадкової точки (Х,Y) від початку координат при умові, що система випадкових величин (Х, Y) має нормальний розподіл з параметрами Мх = Мy = 0 і s х = s у = s називають розподілом Релея.

Зазначимо, що щільність розподілу такої системи (Х, Y) має вигляд

j(х,у) = .

Відхилення точки (х,у ) від початкукоординат буде визначатися випадковим вектором R, що є функцією випадкових величин Х та Y, тобто

.

Випадкова величини R є полярним радіусом, тоді

x = r cos q;

y = r sin q.

Щільність розподілу j(r,q)системи випадкових величин (R, q)визначають через щільність розподілу j(х, у)системи (Х, Y).

Внаслідок математичних перетворень щільність розподілу випадкової величини R визначається розподілом Релея за формулою

j(r) = . (46)

 

Графік розподілу Релея показано на рис. 4

 
 

 

 


 

 

Рис. 4

 

При дослідженнях не завжди виникає необхідність у визначенні закону розподілу функції випадкових величин. Тоді обчислюють числові характеристики функції випадкових величин: математичне сподівання та дисперсію.

 




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 495; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.017 сек.