Граничні теореми теорії ймовірностей

Теорія ймовірностей охоплює питання передбачення результату того чи іншого явища або експерименту. Якщо явище є одиничним, то можна визначити ймовірність кінцевого результату в досить широких межах. Якщо явище є масовим, що виникає в подібних умовах, то при достатньо великій кількості досліджень випадкові події і випадкові величини стають майже невипадковими. Це дозволяє використовувати результати досліджень над випадковими явищами для передбачення результатів майбутніх досліджень.

Теореми, які встановлюють співвідношення між теоретичними і експериментальними характеристиками випадкових величин і випадкових подій при досить великій кількості досліджень, а також розглядають граничні закони їх розподілу називають граничними теоремами теорії ймовірностей. Серед них найбільш важливе значення мають граничні теореми: закон великих чисел та центральна гранична теорема.

Закон великих чисел дозволяє знайти зв’язок між теорією ймовірностей і закономірностями масових випадкових явищ, і має досить велике практичне значення.

Важливою формою закону великих чисел є теорема П.Л.Чебишова, що встановлює зв’язок між можливим емпіричним середнім арифметичним значенням х випадкової величини Х і її математичним сподіванням М_x.

Її формулюють так: при необмеженому збільшенні числа незалежних випробувань середнє арифметичне спостережених значень випадкової величини, що має кінцеву дисперсію, збігається за ймовірністю до її математичного сподівання.

Теорема П.Л. Чебишова цілком справедлива і при застосуванні в теорії математичної обробки геодезичних вимірів. За умовами цієї теореми на випадкові величини Х ₁, Х ₂, ..., Х_п накладають обмеження:

1) вони повинні мати однакові математичні сподівання, тобто

,

де а – істинне значення випадкової величини Х;

2) їх дисперсії не повинні перевищувати наперед відомого додатного числа С: ();

3) вони повинні бути попарно незалежними, тобто будь-яке х_і і х_j при і ¹ j незалежні.

В цьому випадку яке б не було б додатне (плюсове) число x при п ® ¥

= 1. (66)

Це твердження доводиться на основі нерівності Чебишова: ймовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного сподівання буде за абсолютною величиною не менше будь-якого додатного (плюсового) числа x, обмежена зверху величиною , тобто

. (67)

Якщо в формулі (3.66) випадкові величини Х ₁, Х ₂, ..., Х_п замінити на центровані величини , то отримаємо

= (68)

Це означає, що середнє арифметичне великої кількості відхилень випадкових центрованих величин, від їх математичного сподівання за умови, що і п ® ¥збігається за ймовірністю до нуля.

Таким чином, закон великих чисел виявляє як статистичні властивості, так і умови визначення середнього значення випадкової величини.

Досить велике значення в практиці має центральна гранична теорема А.М.Ляпунова. Вона виявляє умови, при яких виникає нормальний закон розподілу. Якщо випадкова величина Х відповідає вимогам:

1) вона є сумою достатньо великої кількості інших незалежних величин Х ₁, Х ₂, ..., Х_п (п ® ¥);

2) випадкові величини попарно незалежні, тобто Х_і і Х_j незалежні при і ¹ j;

3) відхилення випадкових величин від своїх математичних сподівань не перевищує досить малої величини в порівнянні з відхиленнями сумарної величини, тобто Х _і - .

Граничний закон розподілу для суми визначиться за формулою

. (69)

Тоді, згідно з теоремою А.М.Ляпунова: Якщо випадкові величини Х ₁, Х ₂ ,..., Х_п взаємно незалежні, мають один і той же закон розподілу з математичним сподіванням М_x і дисперсією D_x при необмеженому збільшенні їх числа, закон розподілу величин Y (формула 3.69) необмежено наближається до нормального.

В той же час, випадкові величини Х ₁, Х ₂, ..., Х_п можуть мати довільний розподіл імовірностей. Згідно з теоремою Муавра-Лапласа, якщо всі випадкові величини Х_і однаково розподілені, дискретні і приймають тільки два можливих значення 0 чи 1, то це передбачає окремий випадок центральної граничної теореми.

Теорема Муавра-Лапласа описує поведінку біноміального розподілу при великих значеннях п. При цьому обчислення ймовірності попадання випадкової величини Y в інтервал (α,b), що визначається за формулою

, (70)

може виконуватися за формулою

, (71)

де q = 1 – p, p – ймовірність появи події в кожному із досліджень.

Збіжність закону розподілу випадкової величини Y до нормального забезпечується за умови

.

Запитання для самоперевірки

1. Що називають системою випадкових величин?

2. Дайте визначення функції розподілу системи двох випадкових величин і покажіть їх властивості.

3. Як визначити ймовірність попадання випадкової точки в задану область?

4. Дайте визначення щільності розподілу системи випадкових величин та назвіть її властивості.

5. Які випадкові величини називають залежними та незалежними?

6. Назвіть види залежностей між випадковими величинами.

7. Приведіть функцію та графік щільності нормального розподілу двох випадкових величин.

8. Які числові характеристики двомірної випадкової величини?

9. Що називається кореляційним моментом та коефіцієнтом кореляції?

10. Приведіть формули кореляційного моменту та коефіцієнта кореляції для системи двох дискретних випадкових величин.

11. Які випадкові величини називають некорельованими?

12. Чи витікає із некорельованості випадкових величин їх незалежність і навпаки?

13. Що називають функцією розподілу системи п - випадкових величин?

14. Як визначається щільність розподілу системи п - випадкових величин?

15. За допомогою яких числових характеристик характеризують систему п -випадкових величин?

16. Що називають кореляційною матрицею системи п -випадкових величин?

17. Яка матриця називається нормованою кореляційною матрицею?

18. При яких умовах виникає діагональна матриця?

19. Що можна сказати про закон розподілу функції випадкових величин?

20. Як визначається математичне сподівання функції випадкових величин?

21. Чому дорівнює математичне сподівання суми та добутку випадкових величин?

22. Як визначається дисперсія функції випадкових величин?

23. Приведіть формулу для дисперсії функції некорельованих випадкових величин.

24. Запишіть систему декількох функцій системи випадкових величин.

25. Запишіть у загальному вигляді математичне сподівання системи декількох функцій системи випадкових величин.

26. Напишить формулу кореляційної матриці функцій випадкових величин.

27. Як визначити коефіцієнти матриць А і K_x?

28. Яка сутність законy великих чисел?

29. Сформулюйте теорему Чебишова.

30. Які обмеження накладаються на випадкові величини в теоремі Чебишова?

31. Яка сутність центральної граничної теореми Ляпунова?

32. При яких умовах виникає нормальний закон розподілу випадкових величин?

Дата добавления: 2014-01-04