Подгруппы

Теорема 3.3.2. Пусть а – любой фиксированный элемент произвольной группы (G, ·), и пусть H = {} = { a^z | z Î Z } – множество всевозможных целых степеней элемента а. Тогда H – подгруппа группы G, причем абелева.

H ¹ Æ, так как e Î H, и H Í G. Так как , поскольку для , то по критерию подгруппы H £ G. В силу того, что для " m, n Î Z, H – абелева подгруппа группы G.

Определение 3.3.3. Подгруппа H из теоремы 3.3.2 называется циклической подгруппой, порожденной элементом а, и обозначается < а >. Если найдется b Î G такой, что G = < b >, то такую группу называют циклической, а b – ее образующим элементом.

Дата добавления: 2014-01-04