Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. а) Закон Ома в операторной форме

а) Закон Ома в операторной форме. Внутренние ЭДС

Рассмотрим участок сложной разветвленной цепи, содержащей ЭДС и R, L, C -элементы (рис.7.3.3). В схеме замыкается рубильник К, что приводит к переходному процессу в ветви аb.

До коммутации ток в ветви аb имел некоторое значение i = i (0), напряжение на конденсаторе u_C = u_C (0). Запишем разность потенциалов между точками а и b в послекоммутационном режиме:

, (7.3.2)

где

(7.3.3)

Применим преобразование Лапласа к уравнению (7.3.2) при учете (7.3.3)

i ≓ I (s); u_ab ≓ U_ab (s); u_R ≓ RI (s).

≓; e (t) ≓ E (s); u_C ≓ . (7.3.4)

Подставляя выражения (7.3.4.) в (7.3.2), получим

(7.3.5)

Смысл преобразования заключается в том, что вместо дифференциального уравнения (7.3.2) получили алгебраическое уравнение (7.3.5).

Из уравнения (7.3.5) найдем I (s)

(7.3.6)

где - операторное сопротивление ветви аb (его структура аналогична структуре комплексного сопротивления того же участка по переменному току при замене jw на s).

Уравнение (7.3.6) называется законом Ома в операторной форме для участка цепи, содержащей ЭДС, при ненулевых начальных условиях, где Li (0) - внутренняя ЭДС, обусловленная запасом энергии в магнитном поле индуктивности L вследствие протекания через нее тока i (0) непосредственно до коммутации;

u_c (0) - внутренняя ЭДС, за счет запаса электрической энергии конденсатором до коммутации.

При нулевых начальных условиях и отсутствии в ветви источников энергии выражение (7.3.6) приобретает более простой вид: .

б) Первый закон Кирхгофа в операторной форме

Для мгновенных значений токов в узле а (рис. 7.3.4) имеет место соотношение

- i ₁ – i ₂ + i ₃ = 0.

В операторной форме:

.

В общем случае:

. (7.3.8)

в) Второй закон Кирхгофа в операторной форме

Как и в случае мгновенных значений токов и напряжений, второй закон Кирхгофа записывается для замкнутого контура, составленного из нескольких ветвей, в каждой из которых выбрано свое направление тока. Учитывая направление обхода контура, сопоставляя его с направлениями токов в ветвях и переходя к изображениям по Лапласу всех переменных, составляем уравнение по II закону Кирхгофа, в котором в левой части записываются все падения напряжения на пассивных элементах контура (включая падение напряжения от взаимоиндуктивностей), а в правой части - все действующие в контуре внешние ЭДС и все внутренние ЭДС за счет докоммутационных запасов энергии в индуктивности и емкости. В общем виде II закон Кирхгофа в операторной форме можно записать

. (7.3.9)

Таблица эквивалентных преобразований элементов

Дата добавления: 2014-01-04