Теорема о единственности разложения в ряд Фурье

Пример 1.

Периодические функции и гармонические колебания

Ряды и преобразования Фурье

ЛЕКЦИЯ №16

При изучении периодических процессов, например в радиоэлектронике, теории автоматического регулирования, удобнее разлагать функции не в степенные ряды, а в тригонометрические. Простейшим периодическим процессом является простое гармоническое колебание, описываемое функцией

где:

Максимальное значение этой функции равно А, а минимальное (-А). Следовательно, все значения этой функции заключены между -А и А. Поэтому А называется амплитудой колебания. Переменный угол ωt+φ называется фазой колебания. Начальная фаза колебания φ всегда положительна и мень­ше 2. Время Т, в течение которого точка М сделает один полный оборот по окружности, называется периодом гармонического колебания. В течение этого периода проекция Р точки М пройдет дважды все свои возможные положения и возвратится в перво­начальное положение. Исключение составят лишь предельные положения С и D (см. рис. 1), каждое из которых точка прой­дет один раз.

М

Р

М₀

О

ωt

φ

D

Рис. 1.

Сложное гармоническое колебание возникает в результате наложения конечного или бесконечного числа простых гармоник.

Рассмотрим сложное гармоническое колебание на отрезке, которое называется тригонометрическим рядом.

где это положение равновесия, вокруг которого совершаются колебания. Постоянные числа и (n =1, 2, …) называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Напомним понятие и свойства периодических функций.

Определение: Функция называется периодической, если:

Свойства периодических функций:

1) Если период функции равен, то период функции равен;

2) Если период функции равен, а -, то период функции равен;

3) Если функция имеет период и интегрируема на отрезке, то при любых и.

Доказательство:

Пусть, например,, тогда

. (11.1)

С другой стороны,

(11.2)

Но Подставляем полученный результат в (11.2) и, сравнивая с (11.1), имеем.

В частности,.

Определение: Система функций называется ортогональной системой функций на отрезке [a,b] если

Теорема: Система функций является системой ортогональных функций на.

Доказательство: Для доказательства теоремы проинтегрируем всевозможные произведения двух функций из системы:

;

;

;

; (11.3)

;

;

.

Действительно, например,

Аналогично доказываются другие равенства.

Таким образом система функций (11.3) может рассматриваться как базис в пространстве функций для представленных r wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> -переодичных функций.

Рассмотрим равенство

Дата добавления: 2014-01-04