Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Теорема о единственности разложения в ряд Фурье

Пример 1.

Периодические функции и гармонические колебания

Ряды и преобразования Фурье

ЛЕКЦИЯ №16

При изучении периодических процессов, например в радиоэлектронике, теории автоматического регулирования, удобнее разлагать функции не в степенные ряды, а в тригонометрические. Простейшим периодическим процессом является простое гармоническое колебание, описываемое функцией

 

где:

Максимальное значение этой функции равно А, а минимальное (-А). Следовательно, все значения этой функции заключены между -А и А. Поэтому А называется амплитудой колебания. Переменный угол ωt+φ называется фазой колебания. Начальная фаза колебания φ всегда положительна и мень­ше 2. Время Т, в течение которого точка М сделает один полный оборот по окружности, называется периодом гармонического колебания. В течение этого периода проекция Р точки М пройдет дважды все свои возможные положения и возвратится в перво­начальное положение. Исключение составят лишь предельные положения С и D (см. рис. 1), каждое из которых точка прой­дет один раз.

 

М
Р

 

 


М0
О
ωt

φ

 

 

D

Рис. 1.

Сложное гармоническое колебание возникает в результате наложения конечного или бесконечного числа простых гармоник.

Рассмотрим сложное гармоническое колебание на отрезке, которое называется тригонометрическим рядом.

где это положение равновесия, вокруг которого совершаются колебания. Постоянные числа и (n =1, 2, …) называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Напомним понятие и свойства периодических функций.

Определение: Функция называется периодической, если:


Свойства периодических функций:

1) Если период функции равен, то период функции равен;

2) Если период функции равен, а -, то период функции равен;

3) Если функция имеет период и интегрируема на отрезке, то при любых и.

Доказательство:

Пусть, например,, тогда

. (11.1)

С другой стороны,

(11.2)

Но Подставляем полученный результат в (11.2) и, сравнивая с (11.1), имеем.

В частности,.

 

 

Определение: Система функций называется ортогональной системой функций на отрезке [a,b] если

 

Теорема: Система функций является системой ортогональных функций на.

Доказательство: Для доказательства теоремы проинтегрируем всевозможные произведения двух функций из системы:

;

;

;

; (11.3)

;

;

.

 

Действительно, например,

 

 

 

Аналогично доказываются другие равенства.

 

Таким образом система функций (11.3) может рассматриваться как базис в пространстве функций для представленных r wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="1134" w:right="850" w:bottom="1134" w:left="1701" w:header="720" w:footer="720" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></w:body></w:wordDocument>"> -переодичных функций.

Рассмотрим равенство

<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Христианская свобода и немощные братья | Примеры разложения функции в ряды Фурье
Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2014-01-04; Просмотров: 1055; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.011 сек.