Определённый интеграл. Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [а, b], а<b

Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [ а, b ], а<b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками а = x ₀< x ₁< x ₂<…< x_n = b.

Обозначим это разбиение через t, а точки x ₀, x ₁, x ₂, …, x_n, будем называть точками разбиения. В каждом из полученных частичных отрезков [ х_{i -1}, х_i ] выберем произвольную точку x_i (х_{i -1}£ x_i £ х_i). Через D х_i - обозначим разность х_i - х_{i -1} которую будем называть длиной частичного отрезка [ х_{i -1}, х_i ]. Составим сумму: , которую назовём интегральной суммой для функции f (x) на [ a; b ], соответствующей данному разбиению [ a; b ] на частичные отрезки и данному выбору промежуточных точек x_i.

Геометрический смысл суммы s сумма площадей прямоугольников с основаниями D x ₁, D x ₂, …, D x_n и высотами f (x ₁), f (x ₂),…, f (x_n), если f (x)³0.

Определение 1: Если существует конечный предел I интегральной суммы при (l ®0 – наибольшая из длин всех частичных промежутков) D х_i ®0, то этот предел называется определённым интегралом от функции f (x) по отрезку [а, b ].

В этом случае f (x) – называется интегрируемой на [ а, b ]. Числа а и b – называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f (x) – называется подынтегральной функцией, f (x) dx – называется подынтегральным выражением, х – переменная интегрирования, [ а, b ] – называется областью (отрезком) интегрирования.

Теорема 1: Если функция у = f (x) непрерывна на отрезке [а, b ], то определённый интеграл существует.

Отметим, что непрерывность функции является достаточным условием её интегрируемости. Однако определённый интеграл может существовать и для некоторых разрывных функций, в частности для всякой ограниченной на отрезке функции, имеющей на нём конечное число точек разрыва.

Дата добавления: 2014-01-04