Сложная функция

Определение. Сложная функция - это функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а и, в свою очередь, функцией от х, то есть u = h (х), то у - сложная функция от х, то есть y = f (h (x)), определённой для тех значений х, для которых значения h (х) входят в множество определения функции f (u).

Например, если у = u², u = sinx, то у = sin² х для всех значений х. Если же, например, у = y=u, u = sin x, то y=sinx, причём, если ограничиваться действительными значениями функции, сложная функция у как функция х определена только для таких значений х, для которых sin 0, то есть для 2kx+2kkZ.

Если функция задана формулой y = f (x) на D (f), то чтобы найти E (f) достаточно найти множество решений уравнения a = f (x), выразив x через a: x = g (a)т.е. найти D (g).

Если функция сложная y = f (h (x)), то E (h) = D (f) и таким образом E (f) = f (E (h)).

Область определения сложной функции - это множество тех значений х X, для которых функция g (x) определена, кроме того, значения u принадлежат области определения функции y = f (u).
П р и м е р. Функция является сложной. Здесь y = √ u и u = x ² − 2· x − 3.
Функция u = x ² − 2· x − 3 определена на всей числовой прямой, т. е. x R. В область определения функции y = f (x) входят лишь те значения х, для которых подкоренное выражение неотрицательно x ² − 2· x − 3 ≥ 0, поэтому х ≤ − 1 и х ≥ 3. Следовательно, D = (− ∞, 1] [3, + ∞). На интервале [− 1, 3] заданная функция не существует.

Из определения следует, что сложная функция у = f [ g (x)] может быть представлена в виде цепочки простых функций: у = f (u), u = g (x). Переменную u принято называть промежуточным аргументом в отличие от независимой переменной х.

Дата добавления: 2014-01-04