Графики элементарных функций

1. Линейная функция. Прямая линия - график линейной функции y = ax + b. Функция y монотонно возрастает при a > 0 и убывает при a < 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т. 0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Квадратичная функция. Это функция: y = ax ² + bx + c, где a, b, c - постоянные, a 0. В простейшем случае имеем: b = c = 0 и y = ax ². График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат (рис.11). Каждая парабола имеет ось симметрии OY, которая называется осью параболы. Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы.

График функции y = ax ² + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и y = ax ², но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:

Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x ² и дискриминанта D: D = b ² – 4 ac. Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения (см. соответствующий раздел в главе «Алгебра»). Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12.

Изобразите, пожалуйста, квадратную параболу для случая a > 0, D > 0.

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

- область определения функции: - < x < + (т.e. x R), а область

значений: … (ответьте, пожалуйста, на этот вопрос сами!);

- функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины

ведёт себя, как монотонная;

- функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при b = c = 0,

и непериодическая;

- при D < 0 не имеет нулей. (А что при D 0?).

Парабола - график функции квадратного трёхчлена

у = ах² + bх + с. Имеет вертикальную ось симметрии.

Если а > 0, имеет минимум, если а < 0 - максимум.

Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни

соответствующего квадратного уравнения ax² + bx +с =0

3.Обратная пропорциональность. Если переменные y и xобратно пропорциональны, то функциональная зависимость между ними выражается уравнением: y = k / x, где k - постоянная величина. График обратной пропорциональности – гипербола (рис.10). У этой кривой две ветви. Гиперболы получаются при пересечении кругового конуса плоскостью (о конических сечениях см. раздел «Конус» в главе «Стереометрия»). Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k, что следует из уравнения гиперболы: xy = k. Основные характеристики и свойства гиперболы: - область определения функции: x

0, область значений: y

0; - функция монотонная (убывающая) при x < 0и при x > 0, но не монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 (подумайте, почему?); - функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая; - нулей функция не имеет. Гипербола - график функции

. При а> О расположена в I и III четвертях, при а < 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х(а > 0) или у - - х(а < 0). 4. Степенная функция. Это функция: y = axⁿ, где a, n – постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность: y = ax; при n = 2 - квадратную параболу; при n = -1 - обратную пропорциональность или гиперболу. Таким образом, эти функции - частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, при n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a, т.e. её график - прямая линия, параллельная оси Х, исключая начало координат (поясните, пожалуйста, почему?). Все эти случаи (при a = 1) показаны на рис.13 (n

0) и рис.14 (n < 0). Отрицательные значения x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции:

Если n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции: для n = 2 и n = 3.

При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y. При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция y = x ³ называется кубической параболой. На рис.16 представлена функция

. Эта функция является обратной к квадратной параболе y = x ², её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Это способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции. Мы видим по графику, что это двузначная функция (об этом говорит и знак ± перед квадратным корнем). Такие функции не изучаются в элементарной математике, поэтому в качестве функции мы рассматриваем обычно одну из её ветвей: верхнюю или нижнюю. 5. Показательная функция. Функция y = a^x, где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией. Аргумент x принимает любые действительные значения; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа, так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция y = 81 ^x имеет при x = 1/4 четыре различных значения: y = 3, y = -3, y = 3 i и y = -3 i (проверьте, пожалуйста!). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только y = 3. Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рис.17. Они проходят через точку (0, 1). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х, т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 1 показательная функция возрастает, a при 0 < a < 1 – убывает.

Основные характеристики и свойства показательной функции: - область определения функции: -

< x < +

(т.e. x

R); область значений: y > 0; - функция монотонна: возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1; - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая; - нулей функция не имеет. 6. Логарифмическая функция. Функция y = log _ax, где a – постоянное положительное число,не равное 1, называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции; её график (рис.18) может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.

Основные характеристики и свойства логарифмической функции: - область определения функции: x > 0,а область значений: -

< y < +

(т.e. y R); - это монотонная функция: она возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1; - функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая; - у функции есть один ноль: x = 1. 7. Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов.Тогда функция y = sin x представляется графиком (рис.19). Эта кривая называется синусоидой.

График функции y = cos x представлен на рис.20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на

/2.

Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций: - область определения: -

< x < +

;область значений: -1

+1; - эти функции периодические: их период 2

; - функции ограниченные (| y |

1), всюду непрерывные, не монотонные, но имеющие так называемые интервалы монотонности, внутри которых они ведут себя, как монотонные функции (см. графики рис.19 и рис.20); - функции имеют бесчисленное множество нулей (подробнее см. раздел «Тригонометрические уравнения»). Графики функций y = tan x и y = cot x показаны соответственно на рис.21 и рис.22

Из графиков видно, что эти функции: периодические (их период

), неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности (какие?), разрывные (какие точки разрыва имеют эти функции?). Область определения и область значений этих функций:

Обратные тригонометрические функции. Определения обратных тригонометрических функцийи их основные свойства приведены в одноимённом разделе в главе «Тригонометрия». Поэтому здесь мы ограничимся лишь короткимикомметариями, касающимися их графиков, полученных поворотом графиков тригонометрических функций вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.

Функции y = Arcsin x (рис.23) и y = Arccos x (рис.24)многозначные, неограниченные; их область определения и область значений соответственно: -1 x +1 и - < y < + . Поскольку эти функции многозначные, не

рассматриваемые в элементарной математике, в качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения:

y = arcsin x и y = arccos x; их графики выделены на рис.23 и рис.24 жирными линиями.

Функции y = arcsin x и y = arccos x обладают следующими характеристиками и свойствами:

- у обеих функций одна и та же область определения: -1 x +1;

их области значений: -/2 y /2 для y = arcsin x и 0 y для y = arccos x;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

(y = arcsin x – возрастающая функция; y = arccos x – убывающая);

- каждая функция имеет по одному нулю (x = 0 у функции y = arcsin x и

x = 1 у функции y = arccos x).

Функции y = Arctan x (рис.25) и y = Arccot x (рис.26)- многозначные, неограниченные функции; их область определения: - x + . Их главные значения y = arctan x и y = arccot x рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены на рис.25 и рис.26 жирными ветвями.