Уравнение прямой, проходящей через данную точку

Нормальное уравнение прямой

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Каноническое уравнение прямой

Общее уравнение прямой

Уравнения прямой на плоскости

- общее уравнение прямой, где A, B, C – произвольные числа, причем A и B не равны нулю одновременно.

- нормальный вектор прямой l; (Рис. 1).

Рис. 1

Следует запомнить: если прямая параллельна какой – нибудь координатной оси, то в ее уравнении отсутствует член, содержащий координату, одноименную с этой осью.

а), - прямая проходит через начало координат.

б), - прямая параллельна оси.

в), - прямая параллельна оси.

г),, - прямая совпадает с осью.

д),, - прямая совпадает с осью.

Положение прямой l на плоскости вполне определяется заданием какой – либо ее точки и вектора, параллельного данной прямой или лежащего на ней. Этот вектор называется направляющим вектором прямой l (Рис. 2).

- текущая точка прямой l.

- каноническое уравнение прямой.

Рис. 2

Параметрические уравнения прямой

- параметрическое уравнение прямой.

Замечание.

В уравнениях t рассматривается как произвольно изменяющийся параметр; x, y – как функции от t.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом записывается следующим образом:, где - угловой коэффициент. (Рис. 3).

Рис. 3

Тангенс угла наклона прямой к оси называется угловым коэффициентом прямой.

b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси или начальная ордината.

Замечание.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом разрешено относительно текущей координаты y.

Уравнение прямой в отрезках: (Рис. 4).

Рис. 4

а – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси;

b – величина отрезка, отсекаемого прямой на оси.

Замечание.

Особенности этого уравнения: в левой части уравнения между дробями стоит знак плюс, величины a и b могут быть как положительными, так и отрицательными, правая часть уравнения равна единице.

Нормальное уравнение прямой: (Рис. 5).

Рис. 5

p – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую;

a - угол, который образует этот перпендикуляр с положительным направлением оси.

Следует запомнить.

Для приведения общего уравнения прямой к нормальному виду обе его части надо умножить на нормирующий множитель, причем перед дробью следует выбрать знак, противоположный знаку свободного члена С в общем уравнении прямой.

Замечание.

Особенности нормального уравнения прямой: сумма квадратов коэффициентов при текущих координатах равна единице, свободный член отрицателен, а правая часть его равна нулю.

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, определяемом угловым коэффициентом: k:.

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки А и В:

где

текущие координаты.

- угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки.

Текущие координаты - это координаты переменной точки прямой.

Углом между прямыми (I) и (II) (см. рис. 6), рассматриваемыми в указанном порядке, будем называть тот угол, на который нужно повернуть прямую (I), чтобы она совпала с (II) (или стала ей параллельна)

Замечание 1. Если речь идет об угле между двумя прямыми и не указан порядок, в котором они рассматриваются, то можно устанавливать этот порядок произвольно. Очевидно, изменение порядка повлечет за собой изменение знака для тангенса угла.

Замечание 2. В формуле для вычисления знак «+» соответствует острому углу q, а знак «-» тупому.

Дата добавления: 2014-01-04