Уравнения плоскости в пространстве

Задачи

Расстояние от точки до прямой

Угол между прямыми

Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то угол между ними q (Рис. 6) определяется по формуле:.

Рис.6

Если уравнения прямых заданы в общем виде: то угол между ними определяется по формуле.

Пусть две прямые заданы уравнениями общего вида.

Возможны три случая:

а) прямые пересекаются;

б) -прямые параллельны;

в) прямые совпадают.

Следует запомнить.

Если прямые пересекаются, т.е. имеют одну общую точку, то координаты этой точки должны удовлетворять обоим уравнениям.

Следовательно, для нахождения координат точки пересечения прямых нужно решить совместно их уравнения.

Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, то прямые:

а) параллельны, если,.

б) перпендикулярны, если.

Определение: Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую.

Расстояние от точки до прямой:.

Задача 1. Составить уравнение прямой, которая отсекает на отрицательной полуоси отрезок, равный 3 единицам, и образует с осью угол.

Решение

Прямая пересекает ось в точке и имеет угловой коэффициент. Полагая в уравнении (4) и получим искомое уравнение: или.

Задача 2. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2; 5) и отсекающей на оси ординат отрезок.

Решение

Будем искать уравнение прямой в виде.

Согласно условию задачи. Прямая проходит через точку А (2; 5), следовательно, координаты точки удовлетворяют данному уравнению. Получаем,.

Искомое уравнение прямой или 0.

Задача 3. Найти уравнение прямой, которая проходит через точку и удовлетворяет условию:

а) параллельна прямой

б) перпендикулярна прямой

Решение

а) Угловой коэффициент прямой линии, для которой нужно составить уравнение, равен угловому коэффициенту данной прямой в силу условия параллельности этих прямых. Таким образом, полагая в уравнении (7),,, получим искомое уравнение или.

б) Искомый угловой коэффициент обозначим через. Угловой коэффициент данной прямой, как видно из ее уравнения, равен. Условие перпендикулярности нам дает:, откуда. Таким образом, искомое уравнение или.

Задача 4. Найти расстояние между параллельными прямыми и.

Решение

Искомое расстояние найдем как расстояние от произвольной точки первой прямой до второй прямой. Возьмем на первой прямой произвольную точку, например, точку с абсциссой. Ее ордината. Итак, на первой прямой выбрана точка. Найдем теперь расстояние от этой точки до второй прямой по формуле.

Лекция №10. Плоскость.

Определение: Всякое уравнение первой степени относительно текущих координат определяет в пространстве плоскость.

Дата добавления: 2014-01-04