Показникові рівняння

План

Лекція № 14

Тема: Показникові рівняння і нерівності

1. Показникові рівняння.

2. Розв’язування нерівностей, які містять показникову функцію.

Ключові терміни та поняття:

Показникове рівняння, розв’язки рівняння, існування розв’язків рівняння, показникова нерівність, властивості показникової функції монотонність функції.

Література

1. Шкіль М.І. Алгебра і початки аналізу. К., 2001 р., с. 193-198.

2. Афанасьєва О.М. Математика., К., 2000 р., с. 275-279.

Рівняння, що містить невідоме лише в показнику степеня, називається показниковим. Наприклад: , , .

Загального методу розв’язування показникових рівнянь немає. При розв’язуванні показникових рівнянь користуються основними показниковими тотожностями.

Найпростішим видом показникового рівняння є , де . Очевидно, що при це рівняння не має коренів в області дійсних чисел, тому що для всіх .

Рівняння виду не є показниковим і розв’язується при допомозі графічного методу.

Основні типи показникових рівнянь:

1); 2); 3); 4)

1) Рівняння вигляду при . Це рівняння рівносильне рівнянню: , тому що .

Приклад 1. Розв’язати рівняння .

Розв’язання:

Дане рівняння рівносильне рівнянню . .

Відповідь: 1; -2.

Приклад 2. Розв’язати рівняння .

Розв’язання:

Дане рівняння рівносильне рівнянню , звідси . Відповідь: -3; 3.

Приклад 3. Розв’язати рівняння .

Розв’язання:

Поділимо обидві частини рівняння на додатну величину .

Одержимо рівняння: ;

Це рівняння рівносильне рівнянню:, отже .

Відповідь: -3.

2) Рівняння виду . Оскільки ліва і права частини мають спільну основу, то рівняння рівносильне заданому . Отже при рівних основах в множині дійсних чисел показники степенів теж рівні між собою.

Приклад 4. Розв’язати рівняння .

Розв’язання:

Оскільки , то , .

Відповідь: 2.

Приклад 5. Розв’язати рівняння .

Розв’язання:

Оскільки , то;

.

Відповідь: ; 1.

Приклад 6. Розв’язати рівняння

Розв’язання:

Зведемо праву і ліву частину до однієї основи

.

Отже .

Відповідь: -6.

Приклад 7. Розв’язати рівняння .

Розв’язання:

; =; = 0, х = 0.

Відповідь: 0.

Дата добавления: 2014-01-04