Движение заряженной частицы в поперечном магнитном поле

Особенности движения заряженных частиц в электромагнитных полях ускорителей.

Движение заряженных частиц в электромагнитных полях имеет свои специфические особенности.

Сила, действующая на частицу, описывается выражением:

F = q(E+[vB]),

где q – заряд частицы, Е – напряженность электрического поля, В – магнитная индукция. При этом сила Лоренца направлена нормально к вектору скорости и не совершает работы. Она лишь изменяет траекторию движения частицы. Только электрическое поле может ускорять или замедлять движение частицы.

Характер движения частицы и ее траектория зависят от величины электрического и магнитного полей, а также от их взаимной ориентации. Общее уравнение движения частицы имеет вид:

d(mv)/dt = F = q(E+[vB]).

Величины Е и В определяются уравнениями Максвелла:

rot H = j + edE/dt, rot E = - dB/dt, div E = r/e, div B = 0, B = mH,

где Н – напряженность магнитного поля, e,m - абсолютная диэлектрическая и магнитная проницаемость среды, r - объемная плотность заряда, j - плотность тока.

В большинстве ускорителей электронов частицы движутся со скоростями, близкими к скорости света (релятивистские электроны). При этом их масса зависит от скорости частицы согласно выражения:

m = m_o /(1—(v/c)²)^1/2.

Известно, что кинетическая энергия частицы W, приобретенная в электрическом поле, равна:

W = mc² – m_oc² = q(u-u_o),

где (u-u_o) – пройденная частицей разность потенциалов, В.

Приращение массы движущейся частицы при изменении ее энергии описывается выражением:

Dm= W/c².

При этом зависимость массы частицы от пройденной разности потенциалов можно определить из выражения:

m/ m_o =1+qu/(m_oc²).

(m_oc²) – энергия покоя частицы (Е_е=0,511 МэВ, Е_р=938 МэВ).

В таблице указаны зависимости массы электрона и протона, а также приведенных скоростей (v/c) от энергии частиц.

Электрон	Протон
W, МэВ	m/mo	v/c	W, МэВ	m/mo	v/c
0,001	1,002	0,062	0,1	1,000	0,015
0,005	1,010	0,139	0,5	1,000	0,033
0,010	1,019	0,195	1,0	1,001	0,046
0,050	1,098	0,413	5,0	1,005	0,102
0,100	1,196	0,548	10,0	1,010	0,144
0,500	1,978	0,863	50,0	1,053	0,314
1,000	2,957	0,941	100,0	1,107	0,428
5,000	10,81	0,952	500,0	1,533	0,758
10,000	20,57	0,998	1000,0	2,075	0,875
50,000	98,84	0,999	5000,0	6,332	0,987

Как следует из таблицы, уже при энергии в 50 кэВ масса электрона на 10% превышает массу покоя. Для протонов заметное изменение массы начинается при энергии свыше 50 МэВ.

Полная энергия частицы W_п, равная сумме полученной кинетической энергии W и энергии покоя W_o, связана с ее импульсом следующим образом:

W_п =mc² = W_k + W_o=W_o+ pc, а W_п² = W_o ² + p²c²

(Так как m² = m_o²c²/(c²- v²), то m²c ² = m_o²c² + m²v² = m_o²c² +p², тогда m= W_п/c ², m_o = W_o/c ², и W_п² = W_o ² + p²c²).

Общее решение уравнения движения для произвольной ориентации полей затруднено. Их можно получить для ряда частных случаев.

1. Если вектор индукции В однородного магнитного поля нормально направлен к скорости, и v/c <<1, то уравнение движения можно представить в виде:

m_odv /dt = q[vB].

При этом частица движется по окружности радиуса r с ускорением а=dv /dt=v²/ r.

Тогда r = m_ov/(qB).

Период обращения частицы по окружности равен Т=2p/w, где w - угловая частота.

При этом w= v/r, то Т=2p r/v=2pm_o/(qB). Иными словами, через время Т частица возвращается в ту же точку пространства, и для того, чтобы она двигалась по окружности постоянного радиуса, необходимо изменять величину магнитной индукции синхронно с возрастающей скоростью.

Так как v=(rqB/m_o), то энергия частицы зависит от индукции магнитного поля согласно выражения:

W = m_ov²/2 = (qBr)²/2m_o.

2. При релятивистских скоростях частица также движется по круговой орбите, но в этом случае справедливо соотношение:

mv²/r =qvB,

где m = m_o /(1—(v/c)²)^1/2,

а радиус орбиты частицы определяется как r = mv/(qB).

Тогда импульс движущейся частицы равен:

p = m_ov/(1—(v/c)²)^1/2=qrB.

Зависимость кинетической энергии частицы mv²/2 от магнитной индукции можно найти из следующих соображений.

Используя соотношение между полной энергией частицы и ее импульсом (W_п =mc² = pc + W_o), можно получить следующее выражение:

с²p² = W_п² – W_o² = (W+W_o)² – W_o² = W(W+2W_o).

Тогда:

р = [W(W+2Wo)]^1/2/c,

r = [W(W+2Wo)]^1/2/(cqB).

В случае, если кинетическая энергия частицы много больше энергии покоя (m_oc² для электрона 0,511 МэВ, а для протона 938 МэВ), имеем:

W=cqrB.

Для однократно заряженной частицы W=4.8.10^-11 rB, а если энергию выражать в МэВ, то W=300 rB.

Свойство частицы, при котором ее энергия однозначно определяется произведением rB, называется магнитной жесткостью частицы.

Следует отметить, что характер зависимости энергии от rB для релятивистской и нерелятивистской частицы различен.

Дата добавления: 2014-01-04