Методы компенсации запаздывания

Лекция 18

Большинству процедур синтеза управляющих устройств для процессов с запаздыванием (исключая лишь те, которые связаны с оптимальными методами и о которых речь пойдет ниже в этом разделе) присуще использование прогнозирующего блока для компенсации запаздываний в контуре управления. В этом случае для синтеза регулятора можно применять стандартные процедуры. Имеются различные способы прогноза, которые можно применять для компенсации запаздываний по состояниям, выходам или управлениям, например какие-либо из рассмотренных статистически оптимальных алгоритмов прогноза, или значительно более простой прогнозатор Смита, хорошо зарекомендовавший себя при управлении процессами с запаздываниями по выходам и управлениям, или каскадное регулирование, компенсацию возмущений, компенсацию взаимодействий и т. д. Мы ограничимся лишь методами, ориентированными непосредственно на компенсацию запаздываний, сосредоточив внимание на недавних результатах по синтезу многомерных компенсаторов для случая процессов со многими запаздываниями.

Начнем с задачи синтеза компенсатора для одномерного процесса с запаздыванием. В конце 50-х годов был предложен так называемый прогнозатор Смита. Структурная схема соответствующей системы управления показана на рис. 1.

Рис.1. Одномерная система управления с прогнозатором Смита для объекта с (одним) запаздыванием.

Цель введения компенсатора с передаточной функцией

(1)

(он называется прогнозатором Смита) — уничтожить запаздывание на время а в характеристическом уравнении замкнутой системы. Действительно, если компенсатор отсутствует

, то выход замкнутой системы задается выражением

(2)

и соответствующее характеристическое уравнение содержит запаздывание на

(3)

После введения прогнозатора Смита (1) выход замкнутой системы задается выражением

(4)

и соответствующее характеристическое уравнение уже не содержит запаздывания:

(5)

таким образом, можно выбирать достаточно большие значения коэффициентов усиления, не опасаясь неустойчивости замкнутой системы.

В работе Мура и др. для прогноза состояния одномерной системы на интервал запаздывания использовалось аналитическое выражение решения соответствующего уравнения. Полученный прогнозатор был построен сначала для дискретного времени; поэтому он включал элементы, компенсирующие эффекты дискретизации, и элементы фиксации нулевого порядка. Можно показать, что прогнозаторы Смита и Мура эквивалентны

Для многомерных систем со многими запаздываниями задача синтеза регулятора с компенсацией запаздывания существенным образом усложняется. Рассмотрим многомерную систему в частотной области (1) — (3). Зависимость между m-мерным вектором управленийи l-мерным вектором выходов \ задается передаточной матрицей G (s):

(1)

а зависимость между y(s) и n-мерным вектором возмущений d(s)— с помощью передаточной функции G_d(s):

(2)

при этом передаточные матрицы имеют вид

(6)

Во многих практических задачах, особенно если передаточ­ные функции восстанавливаются по результатам экспериментов, G(s) и Gd{s) обычно имеют простой вид [см. уравнение (2)]. Однако возможны и более сложные передаточные функции.

Рассмотрим систему регулирования, блок-схема которой показана на рис. 2. Пусть G_c — передаточная функция регулятора, Н — передаточная функция измерительного устройства, а pa(s) — уставка. Выход замкнутой системы задается выражением.

(7)

При наличии запаздываний в системе выбор закона регулирования гораздо более ограничен по сравнению с рассмотренным выше случаем систем без запаздывания; поэтому целесо­образно принять следующую методику синтеза регулятора: сначала каким-либо образом построить блок компенсации запаздываний или прогнозатор, а затем воспользоваться одним из стандартных приемов. Соответствующий многомерный блок компенсации можно строить как в непрерывной, так и в дискретной форме.

t

Рис. 2. Блок-схема обыкновенной системы регулирования для многомерного объекта управления.

Как было отмечено выше, имеется много способов представления систем с запаздываниями. Так, в случае линейной си­стемы с постоянными запаздываниями наиболее общее пред­ставление во временной области имеет вид

!, (8)

(9)

где х — n-мерный вектор состояний; - постоянные запаздывания.

Соответствующее представление в частотной области получим, беря преобразование Лапласа от (8), (9):

(10)

где

(11)

(12)

Отметим, что передаточные функции (11), (12) имеют гораздо более сложный вид, чем обычно бывает в реальных задачах. Это характерно для тех сравнительно редких на практике случаев, когда модель объекта уп­равления с самого начала задается в виде системы дифференциальных уравнений и нет необходимости восстанавливать ее по результатам экспериментов.

Оказывается, что для многомерных систем с запаздыванием можно построить компенсатор, аналогичный прогнозатору Смита и приводящий к тому, что запаздывающие члены в характеристическом уравнении замкнутой системы исчезают. Однако в отличие от одномерной задачи, где синтез компенсатора сводится к прогнозу выхода на время запаздывания, в многомерном случае компенсация связана с прогнозом некоторых «фиктивных» переменных состояния в заданные моменты времени. Структура многомерной си­стемы с запаздываниями, охваченной обратной связью с ком­пенсатором в контуре регулирования, изображена на рис. 2. Заметим, что эта структура аналогична рассмотренному выше одномерному случаю, т. е. собственно регулятору Смита. Передаточную функцию компенсатора О_к можно выбирать разными способами

Рис. 2. Блок-схема системы регулирования с компенсатором запаздываний для многомерного объекта управления.

Покажем, что при

(13)

(где— соответствующие Н и G передаточные функции

без запаздываний) устраняется запаздывание по выходам и запаздывание в характеристическом уравнении замкнутой системы. Найдем передаточную функцию внутреннего контура G* на схеме рис. 2. Имеем или

(14)

Полная передаточная функция системы в этом случае задается выражением

(15)

Покажем, что многомерный компенсатор (13) позволяет устранить запаздывание в характеристическом уравнении замкнутой системы (15). Постановка дает

(16)

где (17)

Если G — квадратная невырожденная матрица¹), то, воспользовавшись леммой об обращении матриц, получим

Из выражения (16) следует соотношение

. Подставив выражения дляи дляв (17), найдем

(18)

Устойчивость замкнутой системы определяется корнями характеристического уравнения

.(19)

Как видно из (19), членов с запаздыванием в характеристическом уравнении уже нет, и, стало быть, запаздывания не влияют на устойчивость замкнутой системы. Это верно, однако, лишь в том случае, когда модель управляемого процесса абсолютно адекватна ему. На практике, конечно, этого достичь не удается и всегда остается некоторая неточность — ошибка аппроксимации объекта выбранной моделью; поэтому компен­сация запаздываний не является полной, и при настройке параметров регулятора приходится соблюдать некоторую осторожность. Несмотря на это, качество регулирования в системе с компенсацией запаздываний оказывается значительно более высоким, чем без нее.

Дата добавления: 2014-01-04