Остаточные члены простейших формул численного дифференцирования

Чтобы получить представление о точности простейших аппроксимаций значений производных в узловых точках, определяемых формулами (6)-(10), будем предполагать, что данная функция f(x) обладает достаточной для выведения остаточных членов гладкостью. Кроме того, проведем в указанных формулах смещение индексов, т. е. будем считать, что исходная информация о функции соответствует изображенной на Рис. 1, и речь идет об аппроксимации производных в i-м узле x_i и/или в отстоящих от него на расстоянии h узлах x_i–1 и x_i+1.

Рис. 1. К простейшей аппроксимации производных

Знание структуры приближенных выражений для производных, полученных из интерполяционных соображений, позволяет без особого труда (по крайней мере, для симметричных аппроксимаций) вывести формулы их остаточных членов, манипулируя разложениями f(x) по формуле Тейлора подходящих порядков. Покажем это.

Дата добавления: 2014-01-04