Простейшая несимметричная аппроксимация f'(xi) (формулы первого порядка точности)

Запишем представление функции f(x) по формуле Тейлора в окрестности точки x_i:

.

Выразив отсюда f'(x_i), имеем

. (13)

Первый член правой части этого равенства — разностное отношение, аппроксимирующее производную вблизи x_i, а второй — остаточный член, характеризующий точность такой аппроксимации. При фиксировании в (13) x = x_i–1 одновременно зафиксируется и неизвестная точка ξ = ξ_i–1 Î (x_i–1; x_i); таким образом, приходим к формуле левой аппроксимации f'(x_i) с остаточным членом:

. (14)

Аналогично при x = x_i+1 из (13) получаем формулу правой аппроксимации f'(x_i) с остаточным членом:

. (15)

В приближенных равенствах

(16)

при i = 0 и

(17)

при i = 1 узнаём выведенные ранее формулы (6), (7), а остаточные члены в (14), (15) указывают на то, что, пользуясь аппроксимациями (16), (17), мы совершаем ошибку O(h), т.е. эти формулы имеют первый порядок точности. Определенную информацию об ошибках левой и правой аппроксимаций первого порядка дает знание знаков остаточных членов.

Простейшая симметричная аппроксимация f'(x_i) (формула второго порядка точности)

Из разложения

при x = x_i+1 и x = x_i–1 имеем соответственно

и

.

Выполнив почленное вычитание двух последних равенств, получаем

,

откуда с помощью теоремы о среднем, примененной к сумме третьих производных в скобках, приходим к формуле симметричной аппроксимации f'(x_i) с остаточным членом:

, (18)

где ξ_i — некоторая точка интервала (x_i–1; x_i+1).

«Основная» часть формулы (18) —

— (19)

при i = 1 совпадает с (9), а вид ее остаточного члена означает, что аппроксимация (19) имеет второй порядок точности относительно шага h.

Дата добавления: 2014-01-04