Построение кривых

Построение с использованием преобразований

Построение нового объекта с использованием преобразований заключается в следующем:

· задается преобразуемый объект,

· задается преобразование (это может быть обычное аффинное преобразование, определяемое матрицей, или некоторое деформирующее преобразование, например, замена одного отрезка контура ломаной),

· выполнение преобразования; в случае аффинного преобразования для векторов всех характерных точек преобразуемого объекта выполняется умножение на матрицу; для углов вначале переходят к точкам и затем выполняют преобразование.

Важное значение при формировании как 2D, так и 3D моделей имеет построение элементарных кривых. Кривые строятся, в основном, следующими способами:

· той или иной интерполяцией по точкам,

· вычислением конических сечений,

· расчетом пересечения поверхностей,

· выполнением преобразования некоторой кривой,

· формированием замкнутых или разомкнутых контуров из отдельных сегментов, например, отрезков прямых, дуг конических сечений или произвольных кривых.

В качестве последних обычно используются параметрические кубические кривые, так как это наименьшая степень при которой обеспечиваются:

· непрерывность значения первой (второй) производной в точках сшивки сегментов кривых,

· возможность задания неплоских кривых.

Параметрическое представление кривых выбирается по целому ряду причин, в том числе потому, что зачастую объекты могут иметь вертикальные касательные. При этом аппроксимация кривой y = f(x) аналитическими функциями была бы невозможной. Кроме того кривые, которые надо представлять, могут быть неплоскими и незамкнутыми. Наконец, параметрическое представление обеспечивает независимость представления от выбора системы координат и соответствует процессу их отображения на устройствах: позиция естественным образом определяется как две функции времени x(t) и y(t).

В общем виде параметрические кубические кривые можно представить в форме:

x(t) =	A11 t^3	+	A12 t^2	+	A13 t	+	A14
y(t) =	A21 t^3	+	A22 t^2	+	A23 t	+	A24
z(t) =	A31 t^3	+	A32 t^2	+	A33 t	+	A34

(0.2.2)

где параметр t можно считать изменяющимся в диапазоне от 0 до 1, так как интересуют конечные отрезки.

Существует много методов описания параметрических кубических кривых. К наиболее применяемым относятся:

· метод Безье, широко используемый в интерактивных приложениях; в нем задаются положения конечных точек кривой, а значения первой производной задаются неявно с помощью двух других точек, обычно не лежащих на кривой;

· метод В-сплайнов, при котором конечные точки не лежат на кривой и на концах сегментов обеспечивается непрерывность первой и второй производных.

В форме Безье кривая в общем случае задается в виде полинома Бернштейна:

P(t) = яå_{i = 0}ⁿ Cm_i tⁱ (1-t)^m-1 P_i

где P_i - значения координат в вершинах ломаной, используемой в качестве управляющей ломаной для кривой, t - параметр,

Cmi =

m! i! (m-i)!

При этом крайние точки управляющей ломаной и кривой совпадают, а наклоны первого и последнего звеньев ломаной совпадают с наклоном кривой в соответствующих точках.

Предложены различные быстрые схемы для вычисления кривой Безье.

В более общей форме B-сплайнов кривая в общем случае задается соотношением:

P(t) = å_{i = 0}ⁿ P_i N_im(t)

где P_i - значения координат в вершинах ломаной, используемой в качестве управляющей ломаной для кривой, t - параметр, N_im - весовые функции, определяемые рекуррентным соотношением:

N_i,1 =

ü ý þ

1,	если xi £ t £ xi+1
0,	в других случаях

Ni,k(t) =

(t - xi) Ni,k-1(t) xi+k-1 - xi

+

(xi+k - t) Ni+1,k-1(t) xi+k - xi+1

.

Используются и многие другие методы, например, метод Эрмита, при котором задаются положения конечных точек кривой и значения первой производной в них.

Общее в упомянутых подходах состоит в том, что искомая кривая строится с использованием набора управляющих точек.

Дата добавления: 2014-01-04