Анализ размерностей, уменьшение переменных и экспериментальных точек при планировании эксперимента

Планирование экспериментов с точки зрения анализа ошибок

Во многих лабораториях нередко проводятся эксперименты, когда беспорядочно используются приборы самых различных диапазонов точности. Точность приборов выбирается с учетом ее влияния на точность получения конечного результата, с учетом выражения формул обработки и влияния точности измерения входящих в них значений измеряемых переменны.

Цель планирования эксперимента: получить максимальный объем полезных данных при наилучшем контроле и минимальных затратах времени на их обработку и вычисления.

Существует несколько довольно простых способов добиться компактности плана эксперимента без потери общности или контроля точности результатов.

Самым известным и наиболее эффективным (для инженера) способом является анализ размерностей.

Теорема Букингема (теорема подобия):

Фундаментальной переменной называют любую величину, оказывающую влияние на эксперимент и способную изменяться независимо от других переменных. Фундаментальные переменные необходимо отличать от регулируемых переменных.

Если экспериментатору действительно известны все переменные, то он может сразу же преобразовать их, применив первую часть теоремы Букингема: «Если какое-либо уравнение однородно относительно размерностей (все члены имеют одинаковую размерность), то его можно преобразовать к соотношению, содержащему набор безразмерных комбинаций величин- критериев подобия».

Безразмерные комбинации (критерий подобия), о которых упоминалось в теоремах подобия, в т.ч в теореме Букингема, представляют собой произведения или отношения величин, составленные таким образом, что в каждой комбинации размерности сокращаются (они имеют «0» размерность):

Nu=ad/l Re=wd/g

Например:

Þ

Простой способ нахождения комбинаций величин для получения безразмерных комбинаций.

Сначала выражается размерность переменных, описывающих систему с потерями на трение, по отношению к трем основным единицам: массы М, времени q и длины L.

Название переменной	Обозначение	Формула размерности
Потери тепла в трубе	DР	L
Длина трубы	L	L
Диаметр трубы	D	L
Скорость потока жидкости	V	L/q
Вязкость жидкости	m	Mq^–1L^–1
Плотность жидкости	r	ML^-3
Высота неровностей поверх ности	е	L
Ускорение силы тяжести	g	Lq-^2

Затем определяется количество безразмерных переменных (m) описывающих исследуемую систему. Оно равно количеству всех переменных описывающих систему за вычетом основным переменных (единиц) (n).

Комбинируя переменные в виде комплексов с «0» размерностью получают меньшее (m-n) количество переменных, меняя которые проводят исследование системы.

Допустим теперь, что между этими величинами существует следующее соотношение:

Подставим сюда вместо символов размерности из таблицы:

Объединяя члены с одинаковыми показателями степени, легко составить безразмерные комбинации:

Восемь первоначальных переменных задачи дают пять безразмерных комбинаций.

Как приводилось выше в теоремах подобия:

p-теорема:

«Если существует однозначное соотношение f(A₁, А₂, …, А_n) = 0 между n физическими величинами, для описания которых используется k основных единиц, то существует также соотношение:

между (n — k) безразмерными комбинациями, составленными из этих физических величин.

Ван Дрист предложил модифицированную p-теорему: «Число безразмерных комбинаций полной системы равно общему числу переменных минус максимальное число этих переменных, не образующих безразмерной комбинации».

Дата добавления: 2014-01-04