Лекция 32. Признаки обратимости операторов. Теорема Рисса об общем виде линейного ограниченного функционала в гильбертовом пространсчве. Теорема Хана-Банаха

Утверждение 32.1 Если есть X, Y, Z – банаховы пространства, L (X,Y), L (Y,Z) - обратимые. Тогда оператор (X,Z) обратим и

Док-во:

явл. правым обратимым к .

– левый обратный .

Ч.т.д.

Утверждение 32.2 Пусть X, Y – банаховы пространства, L (X,Y), А – обратим; . Тогда оператор В тоже обратим.

Док-во:

и =>– обратим.

А – обратим В – обратим.

Оценки

1⁰.

=>

2⁰. . Ч.т.д.

Замечание: Неравенство заведомо выполн., если выполн. .

Это означ., что в L (X,Y) мн-во всех обратимых операторов явл. открытым, т.к. каждый оператор, попавший в шар В(А, ) сост. из обратимых операторов.

Замечание: Если А обратим, в L (X,Y), тогда начиная с N В(А, )=> все -обратимы =>

=> операция нахождения обратного оператора явл. непрерывной.

Утверждение 32.3 Пусть Н – гильбертово прост-во, L (Н), - ортонормир. базис прост-ва Н, сост.из собств. вект. оператора А, отвеч. соотв. собств. знач. λ _k, т.е. выполн. А=λ _k

A обратим <=> .

Док-во:

необходимость: Утв.31.2. => если А обратим, то

Пусть , тогда .. Ч.т.д.

достаточность: Ax=y

, где = < y, >

,

.

(т.к. y )

A - обратим.

. Ч.т.д.

Опр.32.4 Пусть (Х,) – нормир. прост-во, тогда L (X, K) наз. сопряж. к X прост-вом и обозн. X*.

Т 32.5 (Риса) Пусть Н - гильб. прост-во, тогда Н* изометрично Н. (Н*Н), т.е. – лин.огр. .

Док-во:

единственность:

Пусть => .

Докажем, что если , то

=> f огр. .

=> .

сушествование:

Рассм. L =Ker f(x) = - векторное подпр-во Н.

Докажем, что L замкн.

- предельн. т. L.

L, .

Дата добавления: 2014-01-04