Нахождении базиса, в котором матрица данного оператора диагональная

АЛГОРИТМ

1. Находим все корни характеристического уравнения оператора A n ‑мерного пространства V над полем P, принадлежащие полю P.

а) если таких корней нет, то искомого базиса не существует.

б) если число таких корней n и все они попарно различны, то делаем вывод о существовании искомого базиса и для его нахождения переходим к 2;

б) в остальных случаях переходим к 2;

2. Для каждого собственного значения l по известному алгоритму находим базис соответствующего ему корневого подпространства P (l)⁰; ясно, что он состоит из линейно независимых собственных векторов.

3. Если из полученных на втором шаге собственных векторов можно составить систему из n линейно независимых векторов, то она будет искомым базисом; в противном случае искомого базиса не существует.

Например, в силу замечания 1 к примеру 4 для рассмотренного там линейного оператора существует базис, в котором его матрица диагональная. Обратим внимание на то, что среди характеристических корней там есть одинаковые. В случае кратных корней, как показывает нижеследующий пример, может быть и другая ситуация.

Пример 5. Оператор A задан в базисе e ₁, e ₂, e ₃ пространства V над числовым полем P матрицей . Выяснить, существует ли базис пространства V, в котором матрица оператора A будет диагональной?

□ 1. Находим все корни характеристического многочлена

.

оператора A, принадлежащие полю P. Имеем три одинаковых корня l₁=l₂=l₃=2.

2. Для собственного значения l=2 по известному алгоритму находим базис соответствующего ему корневого подпространства P (2)⁰. Найдем сначала фундаментальный набор решений однородной системы

.

Он состоит из двух векторов . Легко понять, что b ₁=2 e ₁+1 e ₂+0 e ₃, b ₂=0 e ₁+0 e ₂+1 e ₃ – базис корневого пространства P (2)⁰. Поскольку в данном случае собственное значение только одно, рассмотрения этого шага заканчивается.

3. Из полученных на втором шаге 2-х собственных векторов нельзя составить систему из 3-х линейно независимых векторов и поэтому искомого базиса не существует. ◘

Иногда ответ на вопрос о наличии базиса, в котором матрица оператора будет диагональной, можно дать на первом шаге.

Рассмотрим соответствующий пример.

Пример 6. Оператор A задан в базисе e ₁, e ₂, e ₃ пространства V над полем С матрицей . Выяснить, существует ли базис пространства V, в котором матрица оператора A будет диагональной?

□ 1. Находим все корни характеристического многочлена

оператора A, принадлежащие полю С. Многочлен имеет три различных комплексных корня: l₁=2, l₂=1+ i, l₃=1– i. Следовательно, A есть оператор с простым спектром и для него существует базис, в котором его матрица будет диагональной. ◘

В заключение приведем пример, в котором будет дан отрицательный ответ на вопрос о наличии базиса, в котором матрица оператора будет диагональной, также на первом шаге.

Пример 7. Оператор A задан в базисе e ₁, e ₂ пространства V над полем R матрицей . Выяснить, существует ли базис пространства V, в котором матрица оператора A будет диагональной?

□ 1. Находим характеристический многочлен

оператора A. Многочлен не имеет действительных корней. Следовательно, для оператора A не существует базиса, в котором его матрица будет диагональной. ◘

Дата добавления: 2014-01-04