Непосредственное интегрирование

Основные методы интегрирования.

Свойства неопределённых интегралов.

Основные понятия.

Неопределённый интеграл.

Функци я называется первообразной для функции на множестве, если, то называют также первообразной для выражения.

Пример 75. Для функции первообразной будет функция, так как,, поэтому функции,,, где – любое число (константа) так же будут первообразными для функции.

Это оказывается верным для любых функций и их первообразных.

Теорема 41. Множество всех первообразных для функции задаётся формулой, где – какая - либо первообразная функции, а - произвольная постоянная.

Доказательство. Пусть и – некоторые первообразные для функции, тогда.

Функция называется подынтегральной функцией, а выражение - подынтегральным выражением, - переменной интегрирования.

Операция нахождения неопределённого интеграла называется интегрированием.

Пример 76.,,,

1) Производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции

3) Неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной

Доказательство.

5) Неопределённый интеграл от суммы двух непрерывных функций равен сумме интегралов от каждого слагаемого

Доказательство. П усть тогда

. Отсюда

Таким образом, формула для неопределённого интеграла остаётся справедливой независимо от того, является ли переменная интегрирования независимой переменной или любой функцией от неё, имеющей непрерывную производную. Например

Таблица основных интегралов.

Так как интегрирование есть действие, обратное дифференцированию, можно получить таблицу основных интегралов.

Дополнительные формулы интегрирования.

Такие интегралы называются табличными. Все методы интегрирования сводятся к указанию приёмов, приводящих данный интеграл к табличному. Поэтому их необходимо знать наизусть и уметь узнавать.

Пример 77. Вычислить интеграл

Решение. Представим наш интеграл, в соответствии с свойством 5), в виде суммы более простых интегралов и сведем их к табличным

Пример 78. Вычислить интеграл
Решение. Разделим почленно числитель на знаменатель и представим интеграл в виде суммы двух интегралов

Пример 79. Вычислить интеграл

Решение. Заменим в числителе 1 по основному тригонометрическому тождеству и представим интеграл в виде суммы двух интегралов

Пример 80. Вычислить интеграл

Решение. Представим подынтегральную функцию в виде степенной функции и воспользуемся формулой 1) табличных интегралов

Непосредственное интегрирование заключается в приведении с помощью свойств интегралов к табличным. При этом используются следующие свойства дифференциалов:

Пример 81. Вычислить интеграл

Решение.

Пример 81. Вычислить интеграл

Решение.

Пример 82. Вычислить интеграл

Результат проверить дифференцированием.

Решение.

Проверка.

где - некоторая функция от переменной.Тогда преобразовав интеграл по формуле

Сделаем замену. В итоге получим

Пример 84. Вычислить интеграл

Решение. Вычислим интеграл, сделав замену

Дата добавления: 2014-01-04