Соотношения координат при повороте осей координат

Вывод закона Стокса в произвольной системе координат.

Обратите внимание: закону трения Стокса в главной системе координат соответствуют три уравнения – зависимости нормальных напряжений от скоростей относительных линейных деформаций, три напряжения от трёх скоростей деформаций.

В произвольной системе координат в общем случае закон трения Стокса должен будет отображать зависимость уже шести напряжений от шести скоростей деформаций. Для того, чтобы получить закон трения Стокса в общем виде, достаточно в уравнениях (36-38) заменить координаты и величины в главной системе координат на аналогичные величины в произвольной системе координат. Иными словами, нам нужно иметь соотношения для координат, скоростей, напряжений, скоростей относительных линейных и угловых деформаций в системах координат, которые можно совместить простым поворотом осей координат.

Обозначим направляющие косинусы главных осей координат следующим образом:

Тогда нужные нам соотношения можно записать так:

(39)

(40)

(41)

и

(42)

(43)

(44)

Учтём, что орты систем координат связаны соотношениями:

Свойства скалярного произведения позволяют получить несколько соотношений, которые потребуются нам чуть позже. Из равенств

(45)

следует: (46)

(47) (48)

(49)

(50) (51)

Из равенств

следует:

(52)

(53)

(54)

(55)

(56)

(57)

Маленький секрет. Как не перепутать индексы в этих простых и важных соотношениях?

Я с самого начала нарисовал «шпаргалку», которой всё время пользовался, вот она:

(58)

Запомнить, как построена «шпаргалка», нетрудно, а как пользоваться ею, я показывал на своём примере. Далее она нам снова пригодится.

Дата добавления: 2014-01-04