Доказательство. Первое утверждение теоремы доказывается с помощью подходящего выбора абсолютной системы отсчета и связанной системы координат

Первое утверждение теоремы доказывается с помощью подходящего выбора абсолютной системы отсчета и связанной системы координат.

Возьмем в качестве точки отсчета любую точку на оси вращения. Ось неподвижна и в теле, и в абсолютном пространстве. Поэтому точку можем считать полюсом абсолютной и связанной систем координат.

В качестве орта (орта оси ) берем орт направляющего вектора оси .

В качестве орта (орта оси ) берем тот же орт . Это возможно, поскольку, как отмечено выше, ось вращения неподвижна в теле и в абсолютном пространстве.

Тогда при движении твердого тела будет выполняться тождество

при всех .

В качестве ортов и берем два взаимно ортогональных орта, фиксированные в абсолютном пространстве и ортогональные оси вращения, причем — правая тройка векторов.

В качестве ортов берем орты, неподвижные в теле, взаимно ортогональные и ортогональные оси вращения, так что — правая тройка векторов.

Покажем, что матрица ориентации выбранной связанной системы координат имеет вид (3.12.1).

Поскольку и совпадают при всех , то матрица ориентации системы будет иметь вид

,(3.12.3)

причем, элементы при всех удовлетворяют тождествам

(3.12.4)

Положим в (3.12.4):

, (3.12.5)

где — угол, принимающий значения из промежутка .

При такой замене элементов матрицы ориентации тождества (3.12.4) будут выполняться при любых для любых .

Обратно, если знаем элементы , то угол будет однозначно определен по этим элементам из соотношений (3.12.5).

Подстановка зависимостей (3.12.5) элементов , , от угла в матрицу (3.12.3) приводит к выражению (3.12.1) для матрицы . Первое утверждение теоремы доказано.

Докажем второе утверждение — справедливость формулы (3.12.2):

. (3.12.2)

Из вида (3.12.1) матрицы

(3.12.1)

можем записать

, . (3.12.6)

По определению вектора имеем

. (3.12.7)

Дифференцируем (3.12.6) по с учетом того, что при движении твердого тела угол является дифференцируемой функцией времени. Получим

,

.

Кроме того, из тождества следует, что . Подставляя в (3.12.7) полученные значения векторов , и , придем к соотношению (3.12.2):

.

Теорема доказана.

Дата добавления: 2014-01-04