Независимые случайные величины

Определение 13.5

Величины называются попарно независимыми, если для любых действительных события независимы в совокупности . .

Свойства независимых случайных величин.

1. Если случайные величины независимы, то совместная функция распределения вектора равна произведению маргинальных функций распределения случайных величин , :

.

2. Если случайный вектор имеет абсолютно непрерывное распределение с независимыми координатами, тогда совместное распределение вектора равно произведению плотностей координат

.

3. Если — интегрируемые случайные величины, тогда произведение — также интегрируемая случайная величина, причем

.

При доказательстве ограничимся рассмотрением дискретных случайных величин. Доказательство в общем случае лишь немногим сложнее и использует свойства интеграла Лебега–Стилтьеса.

Пусть принимают значения . Тогда

4. Если — независимые случайные величины с конечными дисперсиями, тогда

.

Действительно, используя метод математической индукции, имеем для

Далее так как и — независимы, то

.

Дата добавления: 2014-01-04