Распределение функций от случайных величин

Пример 13.3. Пусть и независимые случайные величины с функциями распределения и соответственно. Найти функцию распределениявеличины .

Так как случайные величины входят в сумму симметрично, то, аналогично предыдущим рассуждениям, имеем

.

Таким образом, справедливо

.

Определение 13.6

Функция , определяемая формулой , называетсясверткой функций распределения и и обозначается .

Если и независимы, имеют плотности распределения и соответственно, то

.

Определение 13.7.

Функция , определяемая формулой называется сверткой плотностей распределения и и обозначается .

Если и независимые целочисленные дискретные случайные величины такие, что и ,тогда справедливы формулы

.

Пример 13.4. Найдем распределение суммы двух независимых случайных величин и , имеющих распределение Пуассона с параметрами и :

, ;

Используя формулу следствия 15.2, получим

Таким образом, сумма двух независимых случайных величин, имеющих распределение Пуассона с параметрами и , распределена по закону Пуассона с параметром .

Пример 13.5. Пусть случайные величины и имеют равномерное распределение на отрезке , т.е. соответствующие плотности распределения вероятностей имеют вид:

Плотность случайной величины , согласно формуле следствия 15.1, имеет вид

для : ;

для : ;

для : ;

для : .

Таким образом, сумма двух равномерно распределенных величин имеет, так называемое, треугольное распределение с плотностью:

Пример 13.6. Независимые случайные величины и имеют показательное распределение с параметром , т.е. , ; , . Найти распределение случайной величины а); б) .

Решение.

а) Пусть — функция распределения случайной величины . Тогда

.

Так как случайные величины и независимы, то

.

Таким образом,

.

Из последнего соотношения, с учетом определения плотности распределения вероятностей случайной величины, следует

.

Окончательно имеем

, .

б) Пусть — функция распределения случайной величины . Тогда

.

Из независимости случайных величини следует

, .

Плотность же распределения вероятностей примет вид:

, .

13.6. Рекомендуется изучить самостоятельно:

Ø [2] – стр. 97 — 102, 214 — 220;

Ø [3] – стр. 127 — 135.

Дата добавления: 2014-01-04