Концепции, лежащие в основе дифференциального уравнения Блэка-Шоулза-Мертона

Дифференциальному уравнению Блэка-Шоулза-Мертона должна удовлетворять цена любой производной ценной бумаги, основанной на бездивидендной акции. Само уравнение будет выведено в следующем разделе, а сейчас мы проанализируем лишь суть аргументов, на которых оно базируется.

Аргументация, используемая при выводе уравнения, напоминает арбитражные рассуждения, приведенные в лекции 12 при оценке стоимости фондового опциона с помощью биноминальных деревьев. В основе модели лежит инвестиционный портфель, состоящий из позиции по деривативу и соответствующей акции. В отсутствие арбитражных возможностей доходность портфеля должна быть равна безрисковой процентной ставке r. Это предположение сразу приводит нас к уравнению Блэка-Шоулза-Мертона.

Поскольку колебания влияют не только на цену акций, но и на стоимость производных ценных бумаг, инвестиционный портфель, свободный от риска, вполне возможен. За любой короткий промежуток времени цена дериватива идеально коррелирует с ценой базовой акции. Создав подходящий инвестиционный портфель, можно компенсировать прибыли и убытки, обусловленные позицией по акции, убытками и прибылями, обусловленными позицией по деривативу, так что стоимость портфеля в конце короткого периода является вполне определенной величиной.

Предположим, например, что в конкретный момент времени небольшое изменение цены акции ΔS и результирующее небольшое приращение цены европейского опциона на покупку акции Δс связаны следующим образом:

Как показано на рис. 14.2, это значит, что угловой коэффициент линейной функции, связывающий величины с и S равен 0,4. Портфель, свободный от риска, должен состоять из следующих ценных бумаг:

1. Длинной позиции оп 0,4 акции.

2. Короткой позиции по одному опциону колл.

Между моделью Б-Ш-М и методом оценки опционов с биноминальных деревьев существует принципиальное различие.

В первой модели позиция по акции и деривативу является свободной от риска только на очень коротком промежутке времени. С теоретической точки зрения, она является безрисковой только на бесконечно малом промежутке времени. Что оставаться безрисковой, эта позиция должна постоянно корректироваться, или балансироваться. Например, сегодня приращения Δс и ΔS могут быть связаны отношением Δс = 0,4ΔS, а через две недели – Δс = 0,5ΔS. Следовательно, для того, чтобы сохранить безрисковую позицию, инвестор должен был купить дополнительную 0,1 долю акции на каждый проданный опцион «колл». Тем не менее, доходность портфеля, свободного от риска, за очень короткий промежуток времени действительно должна быть равной безрисковой процентной ставке. Это ключевой момент теории Блэка-Шоулза.

Дата добавления: 2014-01-04