ЛЕКЦИЯ №17

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В КРУГЛОМ ВОЛНОВОДЕ

Учебные вопросы:

1. Круглый волновод.

2. Е-волны в круглом волноводе, критические

длина волны и частота для Е- волн.

3. Волна Е₀₁, Е- волны высших порядков.

4. Н-волны в круглом волноводе, критические частота и длина Н-волны.

5. Волна Н₁₁, Н- волны высших порядков.

ВВЕДЕНИЕ

Подобно тому, как на предыдущих занятиях были рассмотрены ЭМВ в прямоугольном волноводе, на сегодняшней лекции будут рассмотрены ЭМВ различных типов в круглом волноводе. Рассмотрим отличия в нахождении компонент ЭМП для Н‑ и Е‑ волн и их параметров.

В большинстве практических случаев использования волноводных линий передачи необходима техническая возможность поворота антенной системы на некоторый угол. Это – сканирование антенн в посадочных и диспетчерских радиолокаторах. В этих случаях необходимо, чтобы одна часть волноводного тракта поворачивалась относительно другой. На прямоугольных волноводах такого добиться невозможно, поэтому применяют вращающиеся сочленения на круглых волноводах.

1.КРУГЛЫЙ ВОЛНОВОД.

Круглый металлический волновод представляет собой полую металлическую трубу с внутренним радиусом a, бесконечно протяженную вдоль оси z. При описании поля в круглом волноводе удобно использовать цилиндрическую систему координат r,j,z (рис.1), так как стенки волновода совпадают с координатной поверхностью r=a. Уравнения Максвелла для волновода в цилиндрической системе координат принимают следующий вид:

(1)

Комплексные амплитуды напряженностей электрического и магнитного полей запишутся в виде:

,.

Уравнения связи поперечных с продольными компонентами поля для круглого волновода можно получить тем же способом, что и для прямоугольного:

(2)

Анализ уравнений (2) показывает возможность существования колебаний типов Е и Н в отдельности. Для их исследования необходимо решить уравнения Гельмгольца для и :

,

,

которые в цилиндрической системе координат принимают вид:

, (3)

. (4)

Однозначное решение этих уравнений возможно лишь при дополнении их граничными условиями на стенках волновода при r=a.

Рассмотренная задача также относится к граничным (краевым задачам).

2.. Е-ВОЛНЫ В КРУГЛОМ ВОЛНОВОДЕ, КРИТИЧЕСКИЕ

ДЛИНА ВОЛНЫ И ЧАСТОТА ДЛЯ Е- ВОЛН

Для получения всех составляющих электромагнитного поля в волноводе необходимо решить уравнение (3) и подставить это решение в систему уравнений (2), учитывая . Граничные условия для уравнения (3) должны обеспечивать обращение в нуль тангенциальных составляющих вектора напряженности электрического поля на стенках волновода. Компонента всегда нормальна к поверхности волновода (рис.1), поэтому необходимо потребовать для Е-волн

(5)

Граничную (краевую) задачу – уравнение (3) при заданных граничных условиях будем решать методом разделения переменных. Положим, что

(6)

где R(r), Ф(j) – неизвестные функции только от r и j соответственно. Подставляя (6) в (3), будем иметь

ФR''+ФR'/r+RФ''/r²+g²RФ=0.

После преобразования, поделив левую и правую части на RФ, получим

r²R''/R+rR'/R+g²r²= -Ф''/Ф. (7)

Обе части (7) могут быть равны друг другу при любых независимых r и j, если каждая из них равна постоянной величине, например m²:

-Ф''/Ф=m², (8)

r²R''/R+rR'/R+g²r²= -m². (9)

Решение уравнения (8) имеет вид

Ф(j)=Acos(mj)+Bsin(mj),

Где А,В – произвольные постоянные. Чтобы выполнялось физически очевид­ное требование периодичности решения по углу j с периодом 2p, решение должно быть четной функцией и m – натуральным числом (m=0,1,2,3…N), то есть

Ф(j)=Acos(mj). (10)

Решение (10) описывает меридиональное распределение поля (вдоль стенок волновода). Рассмотрим левую часть уравнения (7):

. (11)

Уравнение (11) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами. Оно хорошо изучено в математической физике и носит название уравнения Бесселя. Решение (11) имеет вид:

R(r)=C₁J_m(gr)+C₂N_m(gr),

где С₁, С₂ – некоторые произвольные постоянные; J_m(gr) – функция Бесселя или цилиндрическая функция первого рода m-го порядка (рис.2.а); N_m(gr) – функция Неймана или цилиндрическая функция второго рода m-го порядка (рис.2.б).

Рис2.а Рис.2.б

Вблизи начала координат функция Неймана неограниченно велика:

,

поскольку бесконечно высоких напряженностей полей вблизи оси волновода физически быть не может, примем С₂=0 для круглых волноводов, поэтому

R(r)=C₁J_m(gr). (12)

Функции Бесселя в цилиндрической системе координат играет ту же роль, что и гармонические функции в прямоугольной декартовой системе. Иными словами, функция Бесселя m-го порядка описывает радиальное распределение поля от оси до стенок волновода.

Окончательно, обозначив произведение АС₁=Е₀, комплексная амплитуда продольной составляющей будет иметь вид:

.

Чтобы найти поперечное волновое число g, используем граничное условие (5). Оно будет выполнено, если поперечные волновые числа при r=a принадлежат бесконечной дискретной последовательности ga=x_mn, откуда

g=x_mn/а, (13)

где x_mn обозначены абсциссы n-го пересечения графика функций Бесселя m-го порядка оси абсцисс, называемые корнями функции Бесселя. Поскольку индекс n обозначает порядковый номер пересечения, он не может быть равен нулю, то есть n=1,2,3…N. Для справочных целей приведем в табл.1 некоторые начальные значения корней функций Бесселя.

Таблица 1

m	Корни xmn функций Бесселя
n=1	n=2	n=3
	2,405	5,520	8,654
	3,832	7,016	10,173
	5,136	8,417	11,620
	6,380	9,761	13,015

Тогда

. (14)

Поперечные составляющие полей для любой волны типа Е_mn легко находятся из системы уравнений (2) при . Таким образом система уравнений, описывающая поле Е-волн в круглом волноводе, примет вид:

(15)

Наличие тригонометрических и бесселевых функций свидетельствует об образовании стоячих волн в поперечном сечении волновода. Физический смысл индексов m и n очень прост. Первый индекс m означает число полу­волн стоячей волны, укладывающихся по угловой координате j вдоль полу­окружности поперечного сечения волновода. Второй индекс типа поля n – число полуволн стоячей волны, укладывающихся по радиальной координате r вдоль радиуса волновода (от оси волновода до его стенки). Как и в прямо­угольном, в круглом волноводе волна тем сложнее, чем больше значения m и n.

Критические частота и длина волны находятся на основании того же самого принципа, что и в прямоугольном волноводе. Распространение волны в волноводе происходит при положительных h: , подставляя (13), получим . Выражение для h может быть положительным при w²e_am_a>(x_mn/a)². При h=0, w²e_am_a=(x_mn/a)², отсюда можно определить минимальную частоту ЭМВ, распространяющейся в волноводе, то есть критическую час­тоту для Е-волн в круглом волноводе:

. (16)

Критическая длина волны определяется как

. (17)

Параметры распространения волн в круглом волноводе находятся аналогично прямоугольному волноводу:

; ;

; .

3. ВОЛНА Е₀₁, Е- ВОЛНЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Из Е-волн простейшей (низшего типа) является волна Е₀₁. Из Е-волн она имеет наименьшую критическую частоту или наибольшую критическую длину волны. Для получения уравнений, описывающий ее структуру, в формулы (15) необходимо подставить n=1, x₀₁=2.405. Критическая длина волны Е₀₁ определяется по формуле:

.

Структура волны Е₀₁ изображена на рис.3.

Рис.3. Картина силовых линий ЭМП волны Е₀₁ в круглом волноводе

Анализ структуры электромагнитного поля колебания типа Е₀₁ показывает, что волна обладает осевой симметрией. Вследствие этого она нашла широкое применение во вращающихся сочленениях, например при механическом сканировании антенн, когда требуется поворот одних частей волноводного тракта относительно других. Структура поля рис.3 может быть получена непрерывной деформацией структуры типа Е₁₁ в прямоугольном волноводе, поэтому в плавных волноводных переходах с круглого на прямоугольный волноводы эти типы волн переходят друг в друга.

Высшими типами Е-волн являются другие колебания, имеющие индексы m>0, n³1. Для определения критических длин волн этих колебаний необходимо использовать выражение (17) и табл.1. Ближайшей волной высшего типа является Е₁₁. Критическая длина волны этого типа определяется как

.

Эта волна является несимметричной и во вращающихся сочленениях не используется.

4. РЕШЕНИЕ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ. Н-ВОЛНЫ В КРУГЛОМ ВОЛНОВОДЕ, КРИТИЧЕСКИЕ ЧАСТОТА И ДЛИНА Н-ВОЛНЫ

Для Н-волн: . Граничные условия для уравнения (3) должны обеспечивать обращение в нуль тангенциальных составляющих вектора напряженности электрического поля на стенках волновода. В случае волн Н-типа электрическое поле имеет только поперечные составляющие, из которых только составляющая касательна к стенкам волновода (рис.1), поэтому необходимо потребовать для Е-волн

Поскольку из (2)

,

граничные условия принимают вид

. (18)

Граничная (краевая) задача – уравнение (4) решается аналогично Е-волнам методом разделения переменных при заданных граничных условиях. Его решение, то есть комплексная амплитуда продольной составляющей будет иметь вид:

. (19)

Чтобы найти поперечное волновое число g, используем граничное условие (18). Вычислим частную производную

.

Граничные условия (18) будут тождественно выполнены, если

. (20)

Равенство (20), рассматриваемое как уравнение относительно gr, имеет бесконечное число корней, обозначаемых как x_mn. Значения x_mn, при которых производные функций Бесселя обращаются в нуль, называются корнями производных функций Бесселя. Наиболее часто применяющиеся значения x_mn приведены в табл.2. Таким образом, краевая задача, описывающая распространение волн магнитного типа, имеет бесконечное множество решений, причем для каждого из этих решений

g_mna=x_mn,

откуда

g_mn=x_mn/a. (21)

Таблица 2

m	Корни =xmn производных функций Бесселя
n=1	n=2	n=3
	3,832	7,016	10.173
	1,841	5,332	8,570
	3,054	6,705	9,970
	4,201	8,015	11,340

Поперечные компоненты полей Н-волн находятся на основании формул перехода (2). Полная система уравнений, описывающая составляющие Н-волн в круглом волноводе, имеет вид:

(22)

Критические частота и длина Н-волны находятся на основании того же самого принципа, что и для Е-волн в круглом волноводе. Распространение волны в волноводе происходит при положительных h: , подставляя (13), получим . Выражение для h может быть положительным при w²e_am_a>(x_mn/a)². При h=0, w²e_am_a=(x_mn/a)², отсюда можно определить минимальную частоту ЭМВ, распространяющейся в волноводе, то есть критическую час­тоту для Н-волн в круглом волноводе:

. (23)

Критическая длина волны определяется как

. (24)

Параметры распространения Н-волн в круглом волноводе находятся аналогично Е-волнам, за исключением волнового сопротивления, которое определяется как .

5. ВОЛНА Н₁₁, Н- ВОЛНЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.

Из Н-волн простейшей (низшего типа) является волна Н₀₁. Ее структура приведена на рис.4.

Рис.4. Структура волны Н₀₁

Однако из Н-волн не Н₀₁ имеет наименьшую критическую частоту или наибольшую критическую длину волны, следовательно не она является основной. Как следует из (17), (24), максимальную критическую длину волны в круглом волноводе имеет тип волны, у которого минимальное значение корня либо функции Бесселя, либо ее производной (табл.1, табл.2). Следовательно, основной волной в круглом волноводе является волна Н₁₁. Для получения уравнений, описывающий ее структуру, в формулы (22) необходимо подставить m=1, x₁₁=1,841. Критическая длина волны Н₁₁ определяется по формуле:

.

Структура волны Н₁₁ изображена на рис.5.

Рис.5. Структура волны Н₁₁

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, круглые волноводы нашли широкое применение в устройствах техники СВЧ, в основном благодаря полной симметрии по угловой координате. Для передачи электромагнитной энергии они используются редко. С этой целью наиболее часто применяются прямоугольные или эллиптические волноводы.

Дата добавления: 2014-01-04