Свободные электрические колебания

С учетом этого уравнение (8.2) перепишем в виде

+ RI + = . (8.3)

Преобразуем уравнение к виду

или

, (8.4)

где

- коэффициент затухания;

- собственная частота колебательного контура.

Линейное, неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка (8.4) называют уравнением колебательного контура.

Если в колебательном контуре активное сопротивление R = 0 и отсутствует внешняя ЭДС (= 0), (рис. 8.1), то возникающие колебания в контуре называют свободными незатухающими электрическими колебаниями.

Уравнение (8.4) в этом случае принимает более простой вид,

т. е.

. (8.5)

Решением этого линейного, однородного дифференциального уравнения второго порядка является функция

q = q₀ cos(w₀t + a₀), (8.6)

где q₀ - амплитудное значение заряда на обкладках конденсатора; w₀ - собственная частота контура; a₀ - начальная фаза.

Значения q₀ и a₀ являются начальными условиями, например, значение заряда q и в момент времени t = 0.

Величина начальной фазы a₀ определяется свойствами контура.

Так как

и ,

то период свободных незатухающих колебаний определяется по формуле Томсона

. (8.7)

Дифференцируя (8.6) по времени найдем уравнение колебания силы тока в контуре

I = - q₀w₀ sin(w₀t + a₀) (8.8)

или

I = I₀ cos(w₀t + a₀ + ),

где I₀ = q₀w₀ - амплитудное значение силы тока.

Уравнение колебания напряжения на конденсаторе

U = q₀ cos(w₀t + a₀), (8.9)

где

- амплитудное значение напряжения.

Вывод: При свободных незатухающих колебаниях напряжение на конденсаторе находится в фазе с зарядом q, а ток I опережает по фазе напряжение U на конденсаторе на .

Дата добавления: 2014-01-04