Интегрирование произведения косинуса и синуса в различных степенях

Рассмотрим интеграл вида , где и заданные числа в случаях:

– нечётное положительное число,, – любое число. Интеграл сводится к табличным интегралам (формулы 1, 2, 3) с помощью подстановки . Покажем на конкретном примере, как это делается.

Задача 2.3. Вычислить интеграл:

Решение. Имеем – нечетное число, , поэтому .

Задача 2.4. Вычислить интеграл: .

Решение. Интеграл имеет вид:

,

где (нечетное положительное число), . Поэтому он сводится к табличным интегралам подстановкой :

.

2⁰. – нечетное положительное число, , – любое число. Интеграл сводится к табличным интегралам (формулы 1, 2, 3) с помощью подстановки .

Задача 2.5. Вычислить интеграл: .

Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, использую тождество ,

.

Получен интеграл типа 2⁰, (– нечетное число, ). Поэтому используем подстановку .

=

.

Иначе говоря, если в интеграле показатель степени хотя бы одной из тригонометрических функций, или – нечетное положительное число, то, принимая другую функцию за t, сведем рассматриваемый интеграл к табличным интегралам.

3⁰. m и n – четные неотрицательные числа, которые одновременно не равны нулю.

В этом случае используются тригонометрические формулы понижения степени:

, (2.4)

, (2.5)

. (2.6)

При этом сначала применяется формула (2.4) для максимально возможной степени, а к оставшейся четной степени косинуса или синуса применяется формула (2.5) или (2.6).

Рассмотрим примеры применения формул(2.4)-(2.6).

Задача 2.6. Вычислить интеграл: .

Решение. Данный интеграл имеет вид 3⁰, где – четные положительные числа. Поэтому сначала применим формулу (2.4):

.

К функции применим формулу (2.6) при , получим:

Задача 2.7. Вычислить интеграл: .

Решение. Имеем интеграл вида 3⁰, где роль x играет 3 х, m =2, n =4 – четные положительные числа. Действуя в соответствии с теоретическими рекомендациями, получим:

;

.

.

Дата добавления: 2014-01-04