Первісна функція та невизначений інтеграл. Основні поняття

ЛЕКЦІЯ 14: ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ: НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ

Нехай f (x) та F ^'(x) при – деякі функції, причому F ^'(x) – диференційовна на відрізку [ a, b ] і при всіх . У цьому випадку говорять, що F ^'(x) є точною первісною функції f (x). При цьому f (x) буде неперервною на [ a, b ].

Наприклад, функція буде первісною для функції , тому що .

Але клас неперервних функцій не дуже зручний для застосувань. Навіть найпростіші кусково-лінійні функції не можуть мати точних первісних у відповідності з наведеним вище означенням. Наприклад, функція на [-1,1] не має точної первісної, оскільки вона приймає на цьому відрізку лише значення -1, 1 і тому не може збігатися з похідною деякої функції F ^'(x), яка повинна приймати всі проміжні значення між числами -1 та 1.

Узагальнимо поняття первісної на більш широкий клас функцій таким чином.

Функція F (x) називається первісною функцією (або просто первісною) функції f (x) на [ a, b ], якщо F (x) неперервна на [ a, b ] і має похідну, яка дорівнює f (x) в усіх точках [ a, b ] за винятком, можливо, скінченої множини точок цього відрізку ().

Наприклад, функція , [-1,1], має первісну , оскільки функція F (x) неперервна на [-1,1] і має похідну для всіх точок відрізку [-1,1], крім точки х =0.

Згідно з правилами диференціювання, функції, що відрізняються лише постійним доданком, мають однакову похідну, тобто

.

Тому якщо функція f (x) має первісну F (x), то вона має нескінченну множину первісних, причому всі первісні мають вигляд F (x) +C, де С – довільна стала.

Наприклад, функція має первісні х ³, х ³+1, х ³-7,..., х ³+ С, тому що похідні всіх цих функцій однакові і дорівнюють 3 х ².

Сукупність всіх первісних для функції f (x) на інтервалі (a, b) називається невизначеним інтегралом від функції f (x) і позначається , де - знак інтегралу, f (x) – підінтегральна функція, f (x) dx – підінтегральний вираз, x – змінна інтегрування. Отже,

.

Процес знаходження невизначеного інтеграла називається інтегруванням функції.

Дата добавления: 2014-01-04