Властивості невизначеного інтеграла

(правила інтегрування)

1. Похідна від невизначеного інтеграла існує в кожній точці [ a, b ], за винятком, можливо, зліченої множини точок. При цьому у точках диференційовності вона дорівнює підінтегральній функції

2. Диференціал невизначеного інтеграла функції f (x) на [ a, b ] існує в кожній точці, за винятком, можливо зліченої множини точок. При цьому у точках диференційованості він дорівнює підінтегральному виразу

3. Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює цій функції з точністю до постійного доданку

4. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла

де а – стала.

5. Інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює такій же сумі інтегралів від цих функцій, тобто

6. Вигляд формули інтегрування залишається незмінним незалежно від того, є змінна інтегрування незалежною змінною чи деякою функцією, тобто якщо і и =φ(x), тоді .

12.3.Таблиця основних інтегралів

Таблиця 12.1 - Таблиця основних інтегралів

1. .	14. .
2. при .	15. .
3. .	16. .
4. .	17.
5. .	18.
6. .	19.
7. .	20.
8. .	21. .
9. .	22.
10. .	23.
11. .	24.
12. .	25.
13. .

Обчислення невизначеного інтеграла за допомогою таблиці основних інтегралів та його властивостей називають безпосереднім інтегруванням. При інтегруванні функцій можливість безпосередньо використовувати основні формули трапляється дуже рідко. Зазвичай підінтегральну функцію необхідно якимось чином перетворити для того, щоб звести інтеграл до табличного.

Приклади 1. Знайти невизначені інтеграли

1) .

Використовуючи властивості 4 і 5, одержуємо

.

До перших трьох інтегралів правої частини застосуємо формулу 2, а до четвертого інтеграла - формулу 1:

2) .

3)

.

Нагадаємо останню властивість невизначеного інтеграла. Вигляд формули інтегрування залишається незмінним незалежно від того, буде змінна інтегрування незалежною змінною чи деякою диференційованою функцією; тобто, якщо , то . Ця властивість дозволяє значно розширити таблицю основних інтегралів за допомогою прийому введення функції під знак диференціалу.

Приклади 2. Знайти інтеграли

1) .

Цей інтеграл можна привести до формули 2, перетворивши його таким чином:

.

Зараз змінною інтегрування є вираз 1+ x ² і відносно цієї змінної маємо інтеграл від степеневої функції. Отже,

.

2) .

Робимо те ж саме, що й у попередньому прикладі:

.

3) .

Вираз можна записати як , тому

.

4) .

Заданий інтеграл можна представити як

,

але 3sin x dx = - d (3cos x), а тому

,

тобто змінною інтегрування є 3cos x. Отже, інтеграл береться за формулою 6:

.

5) .

Знаходимо

(див. формули 8 та 9).

6).

Маємо

(див. формули 10 та 11).

Дата добавления: 2014-01-04