Спряжені оператори

Розглянемо неперервний лінійний оператор , котрий відображає лінійний метричний простір в такий же простір . Нехай – лінійний функціонал, визначений на , Застосуємо функціонал до елемента ; легко перевірити, що є неперервним лінійним функціоналом, визначеним на ; позначимо його . Таким чином, функціонал є елементом простору . Кожному функціоналу ми поставили в відповідність функціонал , тобто отримали деякий оператор, що відображає в . Цей оператор називається спряженим до оператора и позначається , .

Означення: Позначивши значення функціоналу на елементі симвлом , отримаємо, що

, або ,

це співвідношення приймається за означення спряженого оператора.

Означення: Оператор діючий з в , такий що називається оператором, спряженим до оператора , де .

Приклад. Спряжений оператор в скінченновимірному просторі. Нехай дійсний n-вимірний простір відображається в простір (m-вимірний) оператором і нехай - матриця такого оператора. Відображення можна записати у вигляді системи рівностей

а функціонал у вигляді

З рівності

отримуємо, що

Так як , звідси випливає, що оператор задається матрицею, транспонованою по відношенню до матриці оператора .

Наступні властивості спряжених операторів витікають безпосередньо з визначення.

1) Оператор лінійний.

2) .

3) Якщо k – число, то .

Якщо – неперервний лінійний оператор з в , то – неперервний оператор з в (перевірити!). Якщо – банахові простори, то це твердження може бути точнішим.

Наслідок із теореми Хана-Банаха: Якщо –ненульовий елемент у нормованому просторі , то існує такий неперервний лінійний функціонал на , що

і .

Теорема: Якщо – обмежений лінійний оператор, що відображає банаховий простір в банаховий простір , то

.

Дата добавления: 2014-01-04