Приклади спряжених просторів

1. Нехай E – -вимірний лінійний простір (дійсний або комплексний). Оберемо в ньому який-небудь базис ; тоді всякий вибір однозначно представимо у вигляді

Якщо – лінійний функціонал на E, то ясно, що

отже, лінійний функціонал однозначно визначається своїми значеннями на векторах базису , причому ці значення можна задати довільно. Визначимо лінійні функціонали , вважаючи

Очевидно, що ці функціонали лінійно-незалежні. Ясно, що , тому формулу (2) можна записати у вигляді

Таким чином, функціонали складають базис у просторі E*, тобто E* – -вимірний лінійний простір, базис в E* називають двоїстим по відношенню до базису в E.

Різні нормі в просторі E індукують різні норми в E*. Ось декілька прикладів пар відповідних один одному в E і E*:

В цих формулах – це координати вектора в базисі , а – координати функціонала в двоїстому базисі

2. Розглянемо простір С₀ послідовностей, що сходяться до нуля з нормою

покажемо, що спряжений до нього простір () ізоморфний простору абсолютно підсумованих послідовностей з нормою

Будь-яка послідовність визначає в просторі С₀ лінійний обмежений функціонал за формулою

такою що

, (3)

ясно, що

тому

Розглянемо в С₀ вектори

;

;

…………………………

;

……………………….

і покладемо

(якщо , то вважаємо, що ). Тоді , і

так, що

Внаслідок цього ,

,

в силу довільності , тобто

зіставляючи з доведеною вище протилежною нерівністю, робимо висновок, що

Таким чином, ми побудували лінійне ізометричне відображення простору в простір . Залишилось впевнитися в тому, що образ простору співпадає з усім , тобто що будь-який функціонал можна подати у вигляді (3), де . Для будь-якого маємо

причому ряд, що стоїть праворуч, сходиться у до елемента , бо

Так як функціонал неперервний, то

тому достатньо перевірити, що

Вважаючи, що

і вважаючи, що , , маємо

звідки в силу довільності робимо висновок, що

3. Неважко довести, що простір , спряжений з простором , ізоморфне з простором , що складається з усіх обмежених послідовностей з нормою

4. Нехай и – простір всіх послідовностей , для яких

Можна довести, що спряжений до нього простір ізоморфний до простору , . Загальний вигляд неперервного лінійного функціонала на :

Доведення засноване на використанні нерівності Гельдера.

5. З’ясуємо структуру простору, спряженого до гільбертового.

Теорема: Нехай – дійсний гільбертів простір. Для будь-якого неперервного лінійного функціонала на існує єдиний елемент , такий що

, (4)

причому . Обернено, якщо , то формула (4) визначає такий неперервний лінійний функціонал , то . Таким чином, рівність (4) визначає ізоморфізм між просторами .

Дата добавления: 2014-01-04