Метод Крамера

Теорема. Квадратна невироджена СЛР сумісна та визначена, єдиний її розв’язок можна отримати за формулами (формули Крамера)

(2.4)

де , – визначник, отриманий з матриці системи А заміною j -го стовпчика стовпчиком вільних членів.

Приклад 4. Розв’язати методом Крамера наступну СЛР:

Матриця даної системи має вигляд , стовпчик вільних членів . Обчислимо , , , .

Отже, за формулами (2.4), єдиний розв’язок системи має вигляд:

, , .

Відповідь можемо записати у вигляді .

2.4. Розв'язок системи лінійних рівнянь за допомогою метода послідовного виключення змінних. (Метод Гаусса)

Дві СЛР називаються еквівалентними, якщо мають однакову множину розв’язків.

Рівняння СЛР називається несуттєвим, якщо виключаючи його, система переходить в еквівалентну, та суттєвим у протилежному випадку. Змінна, що може набувати у розв’язку системи довільних значень, називається вільною. Якщо у розв’язку системи змінна набуває значень в залежності від фіксованих значень вільних змінних, то вона називається базисною.

Зауваження. Набір вільних та базисних змінних СЛР в деяких випадках можна вибирати по-різному, але кількість змінних у кожному такому наборі при цьому не змінюється.

Приклад 5. Проілюструємо введені поняття на прикладі системи

.

Очевидно, друге рівняння системи можна вважати несуттєвим. Отже, вона еквівалентна лише першому рівнянню (аналогічно можна було б відкинути перше рівняння, залишаючи друге).

. У цьому випадку – вільна, а – базисна. Або . У цьому випадку – вільна, а – базисна.

Елементарними перетвореннями над рівняннями системи лінійних рівнянь називаються

1) перестановки місцями двох її рівнянь;

2) множення рівняння системи на ненульове число;

3) додавання до одного рівняння системи іншого її рівняння, помноженого на довільне число;

4) виключення із системи числових тотожностей.

Зауваження. Очевидно, елементарні перетворення над рівняннями системи відповідають елементарним перетворенням над відповідними рядками її розширеної матриці. Отже надалі ми будемо перетворювати саме рядки розширеної матриці.

Дата добавления: 2014-01-04