Знакозмінні ряди

Знакозмінним називається ряд, в якому є нескінченна кількість як додатних, так і від’ємних членів.

Якщо ряд (1) збігається одночасно з рядом з модулів

, (14.16)

то ряд (14.1) називається абсолютно збіжним.

Якщо ряд (14.1) збігається, а ряд (14.16) розбігається, то ряд (14.1) називається умовно збіжним.

Теорема Коші. Щоб збігався знакозмінний ряд (14.1), достатньо, щоб збігався додатній ряд з модулів (14.16).

Ця умова не є необхідною для збіжності ряду, але коли вона виконується, ряд збігається абсолютно.

Ознака Лейбніца. Якщо знакозмінний ряд має вигляд

, (14.17)

де , і його члени монотонно спадають за абсолютною величиною, тобто , і існує границя

, (14.18)

то ряд збігається.

Ознака Лейбніца не дає відповіді на запитання, як збігається ряд: абсолютно чи умовно. Тут потрібне додаткове дослідження.

Приклад 9. Дослідити на умовну або абсолютну збіжність числовий ряд

.

По-перше, перевіримо, чи виконується необхідна умова збіжності:

.

Необхідна умова виконується. Модулі членів ряду утворюють монотонно спадну послідовність

.

Тому за ознакою Лейбніца ряд збігається. Щоб з’ясувати, умовно він збігається чи абсолютно, розглянемо ряд з модулів

.

Цей ряд є частинним випадком узагальненого гармонійного ряду (14.12), коли . При ряд розбігається. Розбіжність легко перевірити, використовуючи інтегральну ознаку. Інтеграл

є розбіжним. Тому розглянутий знакозмінний ряд збігається умовно.

Приклад 10. Дослідити на умовну та абсолютну збіжність ряд

.

Очевидно, що . Ряд з додатними членами

.

також є узагальненим гармонійним рядом при р=2. Ряд збігається, тому що . За першою теоремою порівняння буде збіжним і ряд

.

Це ряд з модулів членів заданого знакозмінного ряду. За теоремою Коші його збіжність забезпечує абсолютну збіжність знакозмінного ряду.

Дата добавления: 2014-01-04