Правильна і рівномірна збіжність

Функціональний ряд (14.19) називається правильно збіжним в інтервалі , якщо його члени на цьому інтервалі задовольняють нерівності

. (14.20)

де , - числовий ряд з додатними членами, що збігається. Такий ряд називається мажорантою даного функціонального ряду.

Якщо ряд збігається правильно, то він збігається рівномірно.

Зворотне твердження в загальному випадку не виконується.

Приклад 12. Знайти область правильної збіжності функціонального ряду

.

Для всіх х буде виконуватись нерівність , тому мажорантою даного функціонального ряд буде числовий ряд , збіжність якого можна встановити за допомогою ознаки Коші:

.

З цього можна зробити висновок, що даний ряд збігається на всій числовій осі.

Функціональний ряд (19) називається рівномірно збіжним в області , якщо послідовність його частинних сум збігається рівномірно в цій області. Це буде за умови, якщо для будь-якого існує такий номер , що нерівність

(14.21)

справджується при всіх і всіх .

Дата добавления: 2014-01-04