Властивості рядів, що збігаються рівномірно

Ознака Вейєрштрасса

Якщо члени ряду (14.19) задовольняють нерівності (14.20)

для всіх , і числовий ряд з додатними членами збігається, то ряд збігається в області рівномірно.

1. Неперервність суми ряду.

Якщо функції визначені і неперервні в деякій області і ряд (14.19) збігається в області рівномірно до суми , то ця сума буде неперервною в області .

2. Почленний перехід до границі.

Нехай кожна з функцій , де , визначена в області і має при скінчену границю

. (14.22)

Якщо в області рівномірно збігається ряд (19), то збігається і числовий ряд до суми С, а сума функціонального ряду також має границю при , причому

. (14.23)

3. Почленне інтегрування ряду.

Нехай ряд (14.19) збігається рівномірно в деякому проміжку до неперервної функції , а члени ряду , де , також неперервні в проміжку . Тоді ряд, утворений з інтегралів функцій, також збігається рівномірно до функції, яка дорівнює інтегралу від на ():

. (14.24)

Тобто якщо ряд збігається рівномірно, то його можна почленно інтегрувати.

4. Почленне диференціювання ряду.

Нехай функції визначені в деякому проміжку і мають на ньому неперервні похідні . Якщо в цьому проміжку не тільки збігається ряд (19), але й рівномірно збігається ряд, створений з похідних,

, (14.25)

то сума ряду (19) має в похідну, яка дорівнює сумі ряду похідних.

Тобто при виконанні наведених умов стає можливим почленне диференціювання ряду

. (14.26)

Дата добавления: 2014-01-04