Помилки при перевірці статистичних гіпотез. Статистичні критерії

Загальні відомості

Перевірка статистичних гіпотез

Гіпотеза (грец. основа, припущення) – наукове припущення, що висувається для пояснення певних явищ дійсності, або припущення щодо властивостей явищ, що вивчаються, які потребують перевірки та доведення.

Статистична гіпотеза – припущення відносно параметрів або форми розподілу генеральної сукупності, що перевіряється на основі даних статистичного спостереження. Вона може стосуватися окремих параметрів розподілу або його закону.

В результаті перевірки гіпотез необхідно прийняти один з двох альтернативних (взаємовиключних) висновків.

Частіше перевіряють припущення проте, що отримана за вибіркою величини та незначно відрізняється від теоретично припустимої або встановленої в генеральній сукупності. Тобто висувається гіпотеза, що різниця між фактичними і гіпотетичними показниками дорівнює нулю. Таку гіпотезу називають основною, робочою, нульовою і позначають Н_о:. Їй протиставляється альтернативна (конкуруюча) гіпотеза Н_а:, що заперечує нульову. Альтернативних гіпотез може бути нескінченна множина. Гіпотези про параметри генеральної сукупності називають параметричними, а про закон розподілу – непараметричними.

Якщо гіпотеза має тільки одне припущення, то це є проста гіпотеза, а якщо два і більше – складана.

При перевірці простої гіпотези може скластись чтири ситуації. Наприклад, необхідно прийняти рішення про видачу кредиту. Реальна ситуація може бути: клієнту необхідно надати кредит (Н_о:). Якщо відмовили у наданні кредиту, то зробили помилку першого роду α. (Її ще називають рівнем значущості). Тоді ймовірність правильного надання кредиту Р=1–α. Якщо необхідно було відмовити в наданні кредиту (Н_а:), а йому видали його, то здійснили помилку другого роду β (її ще називають побужністю критерію). Таким чином ймовірність вірної відмови в кредиті в даному випадку D=1–β.

Помилки І-го та ІІ-го роду за своїми наслідками не рівнозначні та ведуть до різних матеріальних втрат. Помилка І-го роду, в даному випадку, є неодержаний можливий прибуток, а ІІ-го – втрат основного капіталу банку. Вибір рівня значущості (α) повинен ґрунтуватися на обліку можливих втрат: чим більші ці витрати, тим меншим повинен бути рівень значущості. Однак, якщо знижується рівень значущості (менш будемо відмовляти у кредиті), то збільшується ймовірність появи помилок другого роду (частіше будемо помилково надавати кредит). В цьому розумінні помилки І-го і ІІ-го роду є конкуруючими. В більшості випадків єдиним шляхом одночасного зменшення ймовірності появи помилок обох родів є збільшення чисельності вибірки.

Вище сказане можна описати у вигляді таблиці та графіку.

Дійсна ситуація	Прийняте рішення
Но	На
Но:	Р=1–α	α
На:	β	D=1–β

Рис.

На графіку зображена залежність ймовірності вірно прийнятого рішення від кількості апріорної інформації[1] при різних значеннях потужності критерію.

Правило, за яким приймають або відхиляють гіпотезу, що перевіряють, називається статистичним критерієм та поділяються на параметричні та непараметричні. Параметричні критерії (Стьюдента, Фішера, Піреона та ін.) ґрунтуються на припущенні, що розподіл випадкової величини в сукупності підпорядкований деякому відомому закону (нормальному, Пуасона, біноміальному та ін.). Непараметричні (порядкові, рангові) критерії не пов’язані із знанням закону розподілу випадкової величини. Їх можна застосовувати і тоді, коли досліджуваний розподіл значно відрізняється від нормального. Єдиною умовою їх застосування є взаємна незалежність даних спостереження (знакові критерії, Вілконсона, Уайта та ін.). прир наявності апріорної інформації про закон розподілу параметричні критерії більш ефективні.

Поняття про ступені свободи (вільності)

Повернемось до рівняння

Ступні свободи – число, яке показує, скільки незалежних елементів інформації, що утворилися з елементів у₁, у₂, у₁, …, у_п потрібно для розрахунку даної суми квадратів.

Для утворення необхідно (п–1) незалежний елемент, так як = 0 і п -ий елемент є лінійно-залежний.

Регресійна частина залишку має стільки ступенів свободи, скільки в моделі розглядається незалежних змінних (m). Покажемо це на прикладі лінійної регресії, де кількість незалежних змінних та кількість коефіцієнтів регресії при них рівні і дорівнює одиниці при парній регресії. Тобто, в рівнянні

Кількість ступенів вільності залишків, що не пояснюються регресією, (SSE) дорівнює різниці між кількістю спостережень і кількістю параметрів, що оцінюються n-m-1. Nоді можна записати:

SST = SSR + SSE,

n-1 = m + n-m-1,

aбо для парної регресії

n-1 = 1 + n-2

Дата добавления: 2014-01-04