Вычисление определителей

Как следует из утверждения 6, при элементарных преобразованиях II-го типа над строками матрицы определитель меняет знак.

Утверждение 7. При элементарных преобразованиях I-го типа над строками матрицы определитель не меняется.

Доказательство. det (А₁ ,…, А_i+cА_j,…, А_j,…, А_n) =

= det (А₁ ,…,А_i ,…, А_j ,…, А_n) + det (А₁ ,…,cА_j ,…, А_j ,…, А_n)=

= det А + с det (А₁ ,…,А_j,…, А_j,…, А_n) = detА + с× 0 = detА.



Как доказано в Теореме в п.4.2 матрицу А с помощью элементарных преобразований над строками можно привести к ступенчатому виду . Пусть при этом t - количество ЭП-II. Если rgA < n, то в матрице существует нулевая строка. В частности п -я строка = (0, 0,…,0) = 0× и |A| = (-1)^t| | = = (-1)^t det ( ,…, )=(-1)^t det ( ,…,0× )=(-1)^t0× det ( ,…, )=

= 0.

Если rgA = n, то матрица имеет треугольный вид

= , и | | = = …, а

|A| = (-1)^t| | = (-1)^t ….

Лекция 8.

Дата добавления: 2014-01-04