Доказательство. Обратная теорема об определителях

Обратная теорема об определителях.

Мы доказали, что определитель матрицы является полилинейной кососимметричной функцией строк этой матрицы. Теперь нас интересует вопрос, насколько много таких функций. Оказывается, что с точностью до пропорциональности других таких функций нет. Другими словами, имеет место

Обратная теорема. Пусть F(A) – полилинейная кососим­метричная функция строк (п´п)- матрицы А. Тогда F(A)= с|A|, где сÎ Р, с = F(E), а Е – единичная матрица,

Е = .

1. Рассмотрим функцию матрицы F(A) как функцию

F (А₁,…,А_n) строк А₁,…,А_n матрицы A. Полилинейность функции F по строкам означает линейность по любой i- й строке. То есть для любого i должны выполняться два свойства:

F (А₁ ,…, А_i+А¢_i,…, А_n) = F (А₁ ,…, А_i,…,А_n)+ F (А₁ ,…,А¢_i,…, А_n), F (А₁ ,…, cА_i,…, А_n) =c F (А₁ ,…, А_i,…,А_n).

Кососимметричность функции F по строкам означает, что если при i ¹ j А_i = А_j, то F (А₁ ,…,А_i,…, А_j,…, А_n) = 0. Из свойства кососимметричности, как и в утверждении 6 для определителей следует, что

F (А₁ ,…, А_i,…,А_j,…, А_n) = - F (А₁ ,…, А_j,…, А_i,…, А_n), то есть при ЭП-II над строками функция F, как и det, меняет знак. А при ЭП-I функция F, как и det, не меняется – доказательство этого аналогично доказательству утверждения 7.

2. Приведем матрицу А с помощью элементарных преобразований над строками к ступенчатому виду . Пусть при этом t - количество ЭП-II. Если rgA < n, то в матрице п -я строка = (0, 0,…,0) и |A| = (-1)^t| | = 0. Аналогично F(A) = (-1)^tF( ) = (-1)^t F ( ,…, ) = (-1)^t F ( ,…,0× ) =

= (-1)^t0× F ( ,…, )= 0. И значит, F(A) = c|A|.

3. Если rgA = n, то матрица - треугольная, то есть

= , и |A| = (-1)^t| | = (-1)^t …¹ 0.

Приведем к диагональному виду с помощью ЭП-I следующим образом: вычтем п- ю строку из всех предыдущих строк с подходящими коэффициентами так, чтобы над везде получились бы нули. Затем вычтем (п – 1)- ю строку из всех предыдущих строк с подходящими коэффициентами так, чтобы над везде получились бы нули. Продолжим эту процедуру до конца, пока не получим из с помощью только ЭП-I диагональную матрицу

= = diag.

Тогда строки = ( , 0,…,0)= (1, 0,…,0),

= (0, , 0,…,0)= (0,1, 0,…,0) и т.д.,

и F(A)=(-1)^tF( ) =(-1)^tF( ) = (-1)^t … F(E)=F(E)×|A|.



Дата добавления: 2014-01-04