Изоморфизм линейных пространств

Определение. Отображение j: L ₁ ® L ₂ линейных пространств над полем Р называется изоморфизмом линейных пространств, если

1) j - биекция,

2) j - линейное отображение линейных пространств, то есть j(х+у)= j х +j у, j(a х) =a j х "х,уÎL ₁, "aÎ Р.

Тот факт, что линейные пространства L₁ и L₂ изоморфны, обозначают L₁» L₂.

Упражнение. Доказать, что если j:L ₁ ® L ₂ - изоморфизм линейных пространств, то j(0_L)= 0_L, j(- a)=- j(a) " aÎ L₁.

Утверждение. Если L₁» L₂, то L₂» L₁ (это симметричность изоморфизма).

Доказательство. Пусть отображение j:L ₁ ® L ₂ - изоморфизм линейных пространств. Так как j - биекция, то существует отображение j ^-1, и j ^-1 – биекция. Покажем, что j ^-1 - линейное отображение. Пусть j ^-1х = а, j ^-1у = b. Тогда j а = х, j b = у Þ j(а + b)= х + у Þ j ^-1(х + у)= а + b =j ^-1х+j ^-1у,

j(a а) = a х Þ j ^-1(a х)= a а = a j ^-1х.

Дата добавления: 2014-01-04