Операции над матрицами, их свойства

МАТРИЦЫ

Замечания.

1. Запишем СЛУ (4.1) в виде матричного уравнения АХ = В. Пусть А – (п,п)- мат­рица и А^-1 существует. Если Х – решение уравнения, то, умножая левую и правую часть равенства АХ= В на матрицу А^-1 слева, получим, что Х= А^-1В. Это означает, что решение нашего матричного уравнения единственно. Непосредственной подстановкой в уравнение проверяется, что А^-1В является решением уравнения. Это означает существование решения.
2. В 7.6 при решении однородной СЛУ мы находили

ФСР, придавая набору (п – r) свободных неизвестных значения (1,0,0,...,0,0), (0,1,0,…,0,0),…,(0,0,0,…,1,0), (0,0,0,…,0,1). Минор, составленный из этих строк, размером (п –r)´(п – r) – это минор единичной матрицы, и он отличен от нуля. Таким образом мы находили (п – r) линейно независимых (базисных) решений в пространстве решений однородной СЛУ. Как и в любом пространстве, в пространстве решений однородной системы базисов существует много. В частности, базисом будет любое множество из (п – r) линейно независимых решений, то есть таких решений, матрица из координат которых имеет ранг (п – r). Это значит (см. 8.1), что матрица из координат должна иметь ненулевой минор порядка (п – r). Получать (все) решения с такой матрицей можно следующим образом: нужно придавать (п – r) свободным неизвестным (п – r) наборов значений произвольным образом с единственным условием – чтобы полученный (п –r)´(п – r)- минор был отличен от нуля, и затем, естественно, однозначно находить значения главных неизвестных.

Упражнение. Доказать, что таким образом мы получим все фундаментальные системы решений.

Лекция 18.

Рассмотрим М_т,п(Р) - множество (т,п) -матриц с элементами из поля Р. Определим на М_т,п(Р) структуру линейного пространства.

I. Для А, ВÎ М_т,п(Р), А= (а_i,j)_{i=1,…,m; j=1,…,n}, В= (а_i,j)_{i=1,…,m; j=1,…,n}, пусть А + В = С Î М_т,п(Р), С = (с_i,j)_{i=1,…,m; j=1,…,n}, где с_i,j= а_i,j+ b_i,j. Так определяется операция сложения матриц. Теперь определим операцию умножения матрицы на элемент поля. Для АÎ М_т,п(Р), А= (а_i,j)_{i=1,…,m; j=1,…,n}, a Î Р пусть

aА = (aа_i,j)_{i=1,…,m; j=1,…,n}.

II. Упражнение. Проверить, что для определенных нами операций выполняются 8 свойств линейного пространства.

Замечание. Выполнение восьми свойств линейного пространства можно не проверять, если записывать элементы матрицы в одну строчку длины тп (как в ЭВМ). Можно себе представить, что такие длинные строчки на листе бумаги не помещаются и их приходится разбивать на куски длины п и записывать в таблицу (матрицу). Но операции для матриц (длинных строчек) определены нами так же, как и ранее для строк из Р^п в 7.1. Отсюда и следует выполнение восьми свойств для этих операций. Следовательно, можно считать доказанным, что множество (т,п) -матриц является линейным пространством размерности тп, и это пространство изоморфно Р ^тп. Как и в 7.2 (см. Теорему 5) естественным базисом в Р ^тп будет семейство матриц E_i,j, i=1,…,m; j=1,…,n, где E_i,j - матрица, у которой (i,j)- й элемент равен 1, а все остальные элементы равны 0.

Теперь рассмотрим М_п(Р) – множество квадратных (п,п) -матриц. Как мы только что видели, М_п(Р) – линейное пространство размерности п². Покажем, что М_п(Р) является также АУ -кольцом.

I. Операции сложения и умножения матриц у нас уже определены.

II. Первые 4 свойства из определения кольца (для операции сложения) такие же, как и для линейного пространства, и выполняются в общем случае для прямоугольных (а не только квадратных) матриц. Свойства 5, 6, 9 из определения кольца также выполняются (см. упражнение 1 из 8.4).

Упражнение. Доказать, что " А, ВÎ М_п(Р), "a Î Р выполняется свойство (aА)В = А(aВ) = a(АВ).

Определение. Множество А называется алгеброй над полем Р, если А является кольцом и линейным пространством над Р, и, кроме того, выполняется свойство (aа)b = a(ab) = = a(ab) " a, bÎ A, "a Î Р.

Подводя итог в 9.1, можно сказать, что нами доказана

Теорема. Множество квадратных матриц М_п(Р) является алгеброй над полем Р.

Дата добавления: 2014-01-04