Упражнения. Определение. Пусть L1, L2 – подпространства в L

ПРЯМЫЕ СУММЫ ПОДПРОСТРАНСТВ

Определение. Пусть L₁, L₂ – подпространства в L. Тогда по определению сумма подпространств

L₁ + L₂ = {x + y | xÎ L₁, y Î L₂}.

Аналогично, L₁ +…+ L_т = {x₁ +…+ х_т | x₁Î L₁,…,х_тÎ L_т}.

1. Доказать, что L₁ + L₂ - подпространство.

2. Доказать, что L₁ + L₂ - ³⁾наименьшее ¹⁾подпространст-

во, ²⁾содержащее L₁ и L₂ .

3. Доказать, что (L₁ + L₂)+ L₃ = L₁ +(L₂+ L₃).

Определение. Сумма L₁ + L₂ подпространств L₁ и L₂ называется прямой и обозначается L₁ Å L₂ (или L₁ ∔ L₂), если "хÎ L₁ + L₂ представление х = х₁ + х₂, х₁Î L₁, х₂ÎL₂, однозначно.

Аналогично, L₁+…+ L_т = L₁ Å…Å L_т – прямая сумма т подпространств, если "хÎ L₁ +…+ L_т представление

х = х₁ +…+ х_т, х_iÎ L_i, однозначно.

Теорема 1. L₁ + L₂ = L₁ Å L₂ Û L₁L₂ = {0}.

Дата добавления: 2014-01-04