Примеры. Линейное отображение и его матрица

Линейное отображение и его матрица.

Пусть L, L¢ - линейные пространства над полем P.

Определение. Отображение j: L ® L^¢ называется линей-

ным отображением, если

1. " a, b Î L j(a+b) = j a + j b,

2. " a Î L "a Î P j(a×a) = a×j a.

Очевидно, условия 1-2 эквивалентны условию 3:

3. " a, b Î L "a, b Î P j(a×a+b×b) = a×j a + b×j b.

В самом деле, 3 следует из 1 и 2: j(a×a+b×b)=j(a×a)+j(b×b) = =a×ja + b×j b, 1 следует из 3 при b = 0, 2 следует из 3 при a = b = 1.

Определение. Если линейное отображение j является

биекцией, то j - изоморфизм линейных пространств L и L¢.

1. pr: E³® E² - ортогональная проекция пространства E³

с ортонормированным базисом i, j, k на подпро­странство

E² = < i, j > параллельно подпространству < k > (оси Oz).

1. j: E³® E³, "x Î E³ j x = [a, x] – векторное произве-

дение вектора х на фиксированный вектор a Î E³.

1. j = : P_n[x] ® P_n-1[x] – отображение дифференци-

рования.

1. j: P_n[x] ® P, где "f Î P_n[x] по определению

j(f) = f(16).

1. j: P_п[x] ® P_п+1[x], где "f Î P[x] по определению

j(f) = х×f.

Замечание. Очевидно, можно считать, что в примере 1

pr – отображение из E³ в E³, а в примере 3 j: P_n[x] ® P_n[x].

Упражнение. Доказать линейность отображений из при-

меров 1-5.

Дата добавления: 2014-01-04