Двох нормально розподілених генеральних сукупностей

Перевірка гіпотези щодо рівності дисперсій

Нехай є дві випадкові величини та , що мають нормальний розподіл. Сукупність значень кожної з випадкових величин будемо розглядати як генеральну сукупність. Отже, маємо дві нормально розподілених генеральних сукупності та , з яких вилучені дві незалежних вибіркових сукупності обсягами і . Для кожної з вибіркових сукупностей обчислили виправлені дисперсії і . Необхідно при заданому рівні значущості перевірити нульову гіпотезу про рівність дисперсій цих випадкових величин, тобто . В якості статистичного критерію для перевірки цієї гіпотези розглядається критерій Фішера, тобто випадкова величина , яка визначається як відношення більшої дисперсії до меншої:

, (13.1)

де – більша з виправлених дисперсій;

– менша з виправлених дисперсій.

Випадкова величина розподілена за статистикою Фішера.

Якщо альтернативною є гіпотеза , то критична область є односторонньою, і її границя (критична точка) визначається співвідношенням:

, (13.2)

тобто при умові, що основна гіпотеза не є хибною, ймовірність того, що значення випадкової величини належатиме критичній області, дорівнює прийнятому заздалегідь рівню значущості . Величина визначається за статистикою Фішера при заданому рівні значущості та кількості степенів свободи більшої з дисперсій, а також кількості степенів свободи меншої з дисперсій.

Якщо , то з надійністю нульову гіпотезу нема підстав відхилити. Якщо , то нульова гіпотеза відхиляється.

Якщо альтернативною є гіпотеза , то критична область є двосторонньою, тоді права критична точка, з якою порівнюється емпіричне значення критерію, визначається співвідношенням:

. (13.3)

Приклад. За двома методиками проведені вимірювання однієї й тієї ж фізичної величини. Одержані наступні результати:

а) для першої методики: ;

б) для другої методики: .

Перевірити, чи можна вважати, що обидві методики забезпечують однакову точність вимірювань, якщо прийняти рівень значущості ?

Розв’язання. Вважатимемо, що результати вимірювань розподілені нормально і вибірки є незалежними. Оскільки точність вимірювання визначається величиною дисперсій, то задача полягає у перевірці нульової гіпотези при конкуруючій гіпотезі . Розрахунки основних числових характеристик випадкових величин та дали наступні результати: і , і . Отже,

Конкуруючою є гіпотеза , тобто критична область двостороння, тому критичну точку розподілу Фішера визначаємо для . Кількість ступенів вільності становить та . Відповідно . Оскільки , то гіпотезу про рівність генеральних дисперсій немає підстав відхилити. Іншими словами, виправлені дисперсії розрізняються несуттєво, отже, обидві методики забезпечують однакову точність вимірювань.

Дата добавления: 2014-01-04