Теорема 3. Діаметр кола, перпендикулярний до хорди, проходить через її середину

Теорема 1. Дотична перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику.

Обернена теорема: якщо пряма перпендикулярна до радіуса в його кінці, що лежить на колі, то вона є дотичною (див. рис. 1).

Теорема 2. Відрізки дотичних, проведених до кола з однієї точки, що лежить поза колом, рівні між собою (на рис. 1
АВ = АС).

Обернена теорема: якщо діаметр проходить через середину хорди, то він перпендикулярний до неї (на рис. 2 АВ — хорда, MN — діаметр, АР = РВ).

Рис. 22

Кут, вершина якого міститься в центрі кола, називається центральним.

Центральний кут вимірюється дугою, на яку він спирається (на рис. 23).

Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають коло, називають вписаним.

Теорема 4. Вписаний кут вимірюється половиною дуги, на яку він спирається (на рис. 3 ).

Рис. 3

Частинний випадок: кут між дотичною і січною, що проходить через точку дотику, вимірюється половиною дуги, що її відтинає січна (на рис. 3 ).

Теорема 5 (про дві хорди). Якщо дві хорди перетинаються всередині кола, то добутки відрізків, на які кожна хорда розбивається точкою перетину, рівні між собою (рис. 4):

АЕ × ЕС = BE × ED.

Теорема 6 (про квадрат дотичної). Квадрат довжини дотич­ної дорівнює добутку відрізків січної (рис. 5):

АК ² = АВ × АС.

Рис. 4

Рис. 5

Дотик кіл. Два кола можуть дотикатися як зовнішнім, так і внутрішнім чином (рис. 6).

Рис. 6

Теорема 7. Центри кіл, що дотикаються, і точка дотику мі­стяться на одній прямій (див. рис. 6).

Довжиною кола називають границю, до якої прямує послідов­ність периметрів правильних уписаних у це коло многокутників при необмеженому зростанні кількості їхніх сторін, а площею круга — границю, до якої прямує послідовність площ цих многокутників.

Довжина кола С = 2π R, а площа круга S = π R ², де R — радіус кола, π = 3,14159....

15.5. Визначні точки
в трикутнику

Теорема 1. Три бісектриси трикутника перетинаються
в одній точці, що є центром кола, вписаного в трикутник
(рис. 1).

Рис. 1

Теорема 2. Три серединних перпендикуляри, проведені до сторін трикутника, перетинаються в одній точці, що є центром кола, описаного навколо трикутника (рис. 2).

Рис. 2

Теорема 3. Три медіани трикутника перетинаються в одній точці і поділяються нею у відношенні 2: 1, якщо лічити від вершини трикутника (рис. 3):

АТ: OK = CO: OD = 2: 1.

Рис. 3

Дата добавления: 2014-01-04