Лекція 15

Лекція

Поняття розбиття множини на підмножини, що попарно не перетинаються. Класифікація понять. Приклади класифікації

Мета: пояснити правила правильної класифікації понять, навчити знаходити приклади класифікацій як в математиці, так і в інших науках, виділяти ознаки за якими здійснюється класифікація.

Обладнання: підручники математики, хімії, біології для загальноосвітньої школи.

Студенти повинні знати: правила класифікації

Студенти повинні вміти: знаходити приклади класифікації, перевіряти чи є розбиття множини на підмножини випадком класифікації, застосовувати теорію графів і кругів Ейлера для встановлення наявності класифікації.

Література: 1.Кухар В.М., Білий Б.М. Теоретичні основи початкового курсу математики. К.: Вища школа, 1987;

2. Стойлова Л.П., Пышкало А.М. Основы начального курса математики. М.: Просвещение, 1988;

3. Електронний посібник з основ початкового курсу математики.

Основні поняття: множина, підмножина.

Суть будь-якої класифікації (понять, відношень і т.ін.) зводиться до того, що елементи однієї (універсальної) множини за певними характеристичними ознаками розбиваються на дві або кілька непорожніх підмножин так, щоб кожен елемент даної множини входив в одну і тільки одну з підмножин, тобто щоб ці підмножини попарно не перетинались, інакше, щоб переріз кожної пари з них був порожньою множиною.

Яскравим прикладом класифікації понять є класифікація чисел: множина комплексних чисел поділяється на дві підмножини, що не перетинаються, - множину дійсних чисел і множину уявних чисел. Множина дійсних чисел поділяється на дві підмножини, що не перетинаються, - множину раціональних і множину ірраціональних чисел.

Нехай універсальною множиною є множина натуральних чисел. Візьмемо за основу класифікації властивість, пов’язану з кількістю дільників числа. Тоді множину натуральних чисел розбивають на три підмножини, що попарно не перетинаються:

1) множину натуральних чисел, які мають тільки два дільники: одиницю і самі себе – прості числа Р N;

2) множину натуральних чисел, які мають більше двох дільників (крім 1 і самого себе мають ще якийсь дільник) – складені числа СN;

3) одноелементну множину {1}. Число 1 не належить ні до простих чисел, ні до складених, бо має лише один дільник – само себе {1}N.

Ці три підмножини попарно не перетинаються.

Розглянемо ще приклад класифікації геометричних понять. Нехай універсальною множиною є множина трикутників А. Залежно від рівності сторін множину трикутників поділяють на дві підмножини, перерізом яких є порожня множина: множина В трикутників, у яких є принаймні по дві рівні сторони – рівнобедрені трикутники; множина С різносторонніх трикутників. В свою чергу. Множина В рівнобедрених трикутників поділяється на дві підмножини, що не перетинаються: множина трикутників, у яких тільки дві сторони рівні, це рівнобедрені, але не рівносторонні; множина К трикутників, у яких всі три сторони рівні – рівносторонні.

Для того щоб не допустити при класифікації помилок, які призводять до неправильного розв’язання задач, зокрема рівнянь та нерівностей, слід пам’ятати дві умови:

1) підмножини (жодна пара їх), на які розбиваємо основну множину, не повинні мати спільних елементів, тобто множини їх попарних перерізів повинні бути порожніми: А_i ∩ A_j = ø, і ≠ j;

2) класифікація повинна бути повною, вичерпною. Це означає, що жоден елемент основної множини не повинен залишитись не охопленим однією з множин: А₁А₂А₃ …А_k = U

Кількість елементів універсальної множини при розбитті її на підмножини повинна дорівнювати сумі кількостей елементів усіх підмножин:

n (U) = n (A₁) + n (A₂) + … + n (A _k)

Так, наприклад, не можна класифікувати функції на парні і непарні, як це роблять часто учні за аналогією з поділом натуральних чисел, бо окрім парних і непарних функцій є ще функції, які не належать ні до парних, ні до непарних.

Висновок: розбиття деяких множин на підмножини приводить до випадку класифікації понять, що дозволяє структурувати теоретичний матеріал навчальних дисциплін у окремі розділи.

Дата добавления: 2014-01-04