Основні теоретичні положення

Лекція №15-16. Комплексні числа.

Опорні конспекти лекцій

І КУРС

Лисенко В.І.

«Вища математика»

Література:

1. Гусак А.А. Высшая математика: учебник для студентов вузов. В 2 т. Т.1. – Минск: ТетраСистемс, 2007 – 544с. (76-91 с.).

2. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В. Вища математика. Практикум: Навчальний посібник: К.: Центр навч. літератури, 2005 – 536с. (с. 23-34).

Необхідність добування кореня парного степеня з дійсних від’ємних чисел привела до поняття комплексних чисел, які широко використовуються в сучасній математиці та її застосуваннях.

1. Поняття комплексного числа. Форми його запису.

Озн.1. Комплексним числом називають вираз виду , де та – дійсні числа, – уявна одиниця.

Число – називають дійсною частиною комплексного числа і позначають (від латинського realis (дійсний)); число , що є коефіцієнтом при уявній одиниці , називають уявною частиною комплексного числа і позначають (від латинського imaginarins (уявний)).

Якщо , то , тобто співпадає з дійсним числом .

Якщо , то – суто уявне число.

Комплексні числа та рівні, якщо рівні їх дійсні та уявні частини. Тобто

Комплексне число у декартовій системі координат можна зобразити точкою з координатами . При цьому між точками площини і комплексними числами встановлюється взаємооднозначна відповідність. Дійсна частина зображується точками осі Ох, яку називають дійсною віссю. Уявна частина –зображується точками осі Оу, яку називають уявною віссю.

Кожній точці площини Оху відповідає її радіус-вектор (вектор, що з’єднує початок координат з точкою) і полярний кут (кут повороту осі Ох до радіус-вектора ),

Числа і називають модулем та аргументом комплексного числа і позначають , .

Рис.1

визначається з точністю до , його головне значення .

Комплексне число можна записувати в трьох формах:

алгебраїчна (1)

тригонометрична (2)

показникова (3)

Для переходу від алгебраїчної форми запису комплексного числа до тригонометричної або показникової форм використовують формули:

, , (4)

Рис.2

Озн.2. Комплексне число називають комплексно спряженим до числа і позначають (читають z з рискою).

Примітка 1: Щоб визначити чверть, якій належить , слід керуватись такими міркуваннями:

Чверть	Межі зміни	Знаки
х	у
І		+	+
ІІ		–	+
ІІІ		–	–
ІV		+	–

Приклад 1. Знайти модулі та головні значення аргументів чисел:

а) , б) , в) .

Розв’язання:

а) ,

(4): , (ІІ чверть) .

; .

б) ,

(4): , (ІV чверть) .

; .

в) ,

(4): , – розміщено на осі Оу.

;

; (не існує) .

Приклад 2. Записати дане комплексне число в іншій формі.

№	Форма запису комплексного числа
Алгебраїчна	Тригонометрична	Показникова

Розв’язання

1) , , ; – належить IV чверті.

(4): ; ; ;

.

(2): – тригонометрична форма запису.

(3): – показникова форма запису.

2) . – І чверть.

(2) ; .

(4) , ; .

– належить І чверті, а – ІІІ чверті.

Відповідь:

3) (3) ; ; – І чверть.

– тригонометрична форма запису.

(4)

Оскільки належить І чверті, то , – сторонній розв’язок. Відповідь: – алгебраїчна форма запису.  

Дата добавления: 2014-01-04