Дії над комплексними числами

а) Дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі.

Оскільки кожному комплексному числу можна поставити у відповідність радіус-вектор точки , то множення комплексного числа на дійсне число с та додавання (віднімання) комплексних чисел здійснюється аналогічно множенню на число та додаванню (відніманню) векторів, заданих своїми координатами.

(5), (6)

Приклад 3. Знайти , якщо , . Зобразити на рисунку: , та .

Розв’язання:

(5): , ,

.

Рис.3

Множення комплексних чисел, заданих в алгебраїчній формі здійснюється за правилом множення многочленів та заміни .

Для ділення комплексних чисел треба помножити ділене і дільник на число, яке комплексно спряжене до дільника, виконати вказані дії, щоб відокремити дійсну та уявну частини.

Приклад 4. Знайти та , якщо , .

Розв’язання.

;

.

Примітка 2:

1. . (7)

2. (8)

3. ; ; ;

. Тобто , , , , .

б) Множення та ділення комплексних чисел, заданих у тригонометричній та показниковій формах.

При множенні комплексних чисел, заданих у тригонометричній або показниковій формах, їх модулі перемножають, а аргументи додають.

Якщо , , то

(9)

Якщо , , то ()

При діленні комплексних чисел, які задані в тригонометричній або в показниковій формах, їх модулі ділять, а аргументи віднімають.

(10)

()

Приклад 5. Знайти: а) та ; б) та , якщо , , , .

Розв’язання:

а) .

б) , .

в) Піднесення до степеня та добування кореня з комплексного числа.

Піднесення до степеня і добування кореня доцільно виконувати, використовуючи тригонометричну або показникову форми запису комплексних чисел.

Правило множення комплексних чисел розповсюджується на будь-яку кількість множників, тому:

(11)

().

Якщо , , то

Тобто ()

Формулу (11) називають формулою Муавра.

Для знаходження n різних значень використовують формули:

(12)

() де

Приклад 6. Знайти: а) та ; б) та , якщо , .

Розв’язання:

а) Запишемо число в тригонометричній формі:

(11):

Цей же результат одержимо

(12): ,

де

Одержимо при , ;

, ;

, ;

б) ;

():,

де

Одержимо: при , ;

при , ;

при , ;

при , .

Питання для самоконтролю

1. Дайте означення комплексного числа; що таке дійсна та уявна частина комплексного числа?

2. Як визначається уявна одиниця?

3. Які комплексні числа називаються рівними; спряженими?

4. Як зображується комплексне число на площині?

5. Яка форма запису комплексного числа називається алгебраїчною; тригонометричною?

6. Дайте означення модуля та аргументу комплексного числа.

7. Що називають головним значенням аргументу?

8. За якою формулою визначається модуль комплексного числа, аргумент комплексного числа?

9. Як виконуються дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі?

10. Як виконуються дії над комплексними числами, задани­ми в тригонометричній формі?

11. Наведіть показникову форму комплексного числа.

12. Як виконуються дії над комплексними числами, задани­ми в показниковій формі?

13. Який геометричний зміст суми та різниці комплексних чисел?

14. Який геометричний зміст операції множення двох ком­плексних чисел?

15. Який геометричний зміст операції ділення двох комплекс­них чисел?

Дата добавления: 2014-01-04