Швидкості теплового руху молекул газу. Розподіл Максвелла

Уявимо собі простір швидкостей із прямокутними координатними осями, по яких будемо відкладати значення проекцій v_x, v_y, v_z окремих молекул. Тоді швидкості кожної молекули буде відповідати точка в цьому просторі – кінець вектора v. Через зіткнення молекул положення точок будуть стрімко змінюватися, але їхній розподіл у цілому буде залишатися незмінним, оскільки макросистема знаходиться в термодинамічній рівновазі. Внаслідок рівноправності всіх напрямків руху розташування точок відносно початку координат буде сферично симетричним. Тому густина точок може залежати тільки від модуля швидкості v. Знайдемо ймовірність або відносне число молекул, модуль швидкості яких укладений в інтервалі (v, v+dv). Таким молекулам відповідають усі точки, що попадають у кульовий шар з радіусами v і v+dv. Об’єм цього шару дорівнює добуткові поверхні шару на його товщину, тобто 4pv²dv, об'ємна ж густина імовірності f(v) у всіх точках шару однакова. Отже, відповідно до теореми додавання ймовірностей, ймовірність влучення в цей шар:

.

Тоді величина і є шуканою ймовірністю того, що частинка буде мати швидкість у заданому інтервалі. Максвелл, показав, що функція розподілу молекул по швидкостях буде мати вигляд:

.

Остання формула являє собою закон розподілу Максвелла за модулем швидкості. Графік функції розподілу представлений на малюнку. Аналіз графіка й отриманої функції розподілу дозволяє виділити три найбільш характерні швидкості:

- Найбільш ймовірна швидкість. Їй відповідає максимум функції розподілу. Вона визначається з умови: , відкіля випливає:

.

- Середня арифметична швидкість. Визначається як середнє арифметичне значення швидкостей усіх молекул:

.

- Середньоквадратична швидкість. Визначається як квадратний корінь із середнього значення квадратів швидкостей усіх молекул:

.

Остання рівність може бути отримана безпосередньо з формули середньої кінетичної енергії поступального руху молекул газу:

, або , відкіля одержуємо:

.

Дата добавления: 2014-01-04